二次函数应用题几何问题

一、选择题1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】A．k＜－3B．k＞－3C．k＜3D．k＞3【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据题意得：y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图，∵|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，∴k＞3。故选D。二、填空题三、解答题1.（2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求ABCyyy的值；（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求ABCyyy的最小值．【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，∴yA=15，yB=10，yC=7。∴ABCy15==5yy107。（Ⅱ）由0＜2a＜b，得0bx12a。由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1。连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1。过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。∴11AAFABDCD，即221xyA1xyByC1。过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。∴AGEGBDCD，即AE1BCyy1xyy。∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，∴211abcaxbxc1x1cabc，化简，得x12＋x1－2=0，解得x1=－2（x1=1舍去）。∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。∴yAyByC的最小值为3。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算ABCyyy的值即可。（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出0bx12a，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到221xyA1xyByC1，，再根据△AEG∽△BCD得到AE1BCyy1xyy，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出ABCyyy的最小值。2.（2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴16a+24+c=0a6+c=0，解得a=2c=8。∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。∴△EDF∽△DAO。∴EFED=DODA。∵ED1=tanDAE=DA2，∴EF1=DO2。∵OD=t，∴EF1=t2，∴EF=1t2。同理DFED=OADA，∴DF=2，∴OF=t﹣2。（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。在△CAG与△OCA中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+1t2，由勾股定理得：222221AEAMEM4+t+t22。在Rt△AEG中，由勾股定理得：22222215EG=AEAD4+t+t28t4424。在Rt△ECF中，EF=1t2，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+25t444由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即222215t+10t=4+t4424。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。∴t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。3.（2012广东广州14分）如图，抛物线233y=xx+384与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．[来源:中.考.资.源.网]【答案】解：（1）在233y=xx+384中，令y=0，即233xx+3=084，解得x1=﹣4，x2=2。∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。（2）由233y=xx+384得，对称轴为x=﹣1。在233y=xx+384中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，ACB11SABOC63922。在Rt△AOC中，2222AC=OA+OC4+35。设△ACD中AC边上的高为h，则有12AC•h=9，解得h=185。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=185，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=185，∴18CFCF95CE4sinCEFsinOCA25。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得4k+b=0b=3，解得3k=4b=3。∴直线AC解析式为3yx34。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（92个长度单位）而形成的，∴直线L1的解析式为3933yx3x4242。则D1的纵坐标为3391424。∴D1（﹣4，94）。同理，直线AC向上平移92个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，274）。综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，94），D2（﹣1，274）。（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。又FE=5，则在Rt△MEF中，-ME=22534，sin∠MFE=45，cos∠MFE=35。在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×41255，FN=MN•cos∠MFE=3×3955。则ON=45。∴M点坐标为（45，125）。直线l过M（45，125），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有412k+b=554k+b=0，解得3k=4b=3。∴直线l的解析式为y=34x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=34x﹣3。综上所述，直线l的解析式为y=34x+3或y=34x﹣3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。4.（2012广东肇庆10分）已知二次函数2ymxnxp图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tantanCABO1OC．（1）求证：n4m0；（2）求m、n的值；（3）当p﹥0且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．【答案】（1）证明：∵二次函数2ymxnxp图象的顶点横坐标是2，∴抛物线的对称轴为x=2，即n22m，化简得：n+4m=0。（2）解：∵二次函数2ymxnxp与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，∴OA=－x1，OB=x2；1212npxxxxmm，。令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。由三角函数定义得：112pppOCOCtanCAOtanCBOOAxxOBx，。∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即12pp=1xx，化简得：1212xx1xxp。将1212npxxxxmm，代入得：n1mppm，化简得：pn1p。由（1）知n+4m=0，∴当n=1时，1m4；当n=－1时，1m4。∴m、n的值为：1m4，n=－1（此时抛物线开口向上）或1m4，n=1（此时抛物线开口向下）。（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，1m4，∴抛物线解析式为：21yxxp4。联立抛物线21yxxp4与直线y=x+3解析式得到：21xxpx34，化简得：2x4p30＊。∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。∴抛物线解析式为：22