二次函数最大面积

欢迎各位老师光临听课指导二次函数的应用何时面积最大练习1：请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论。解（1）图象的开口方向:（2）顶点坐标：（3）对称轴：（4）图象与x轴的交点为：（5）图象与y轴的交点为：（6）图象与y轴的交点关于对称轴的对称点坐标为：（7）最大值或最小值：（8）y的正负性：（9）图象的平移：（10）图象在x轴上截得的线段长向上（-2，-1）直线x=-2（-3，0），（-1，0）（0，3）（-4，3）当x=-2时，y最小值=-1；当x=-3或-1时，y=0；当-3x-1时y0；当x-1或x-3时，y0抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=x2+4x+3为2（11）对称抛物线：抛物线y=x2+4x+3关于x轴对称的抛物线为y=-（x+3）（x+1）next练习2、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面练积为ycm2,问何时矩形的面积最大？解：∵周长为12cm,一边长为xcm,∴另一边为（6－x）cm∴y＝x（6－x）＝－x2＋6x（0x6）＝－(x－3)2＋9∵a＝－10,∴y有最大值当x＝3cm时，y最大值＝9cm2，此时矩形的另一边也为3cm答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。next例1.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym²,x取何值时,y的最大值是多少?AMBDCN40m30m3练习3.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.•(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？•(2).设矩形的面积为ym²,当x取何值时,y的最大值是多少?ABCDMNQ30m40m练习4•如图，某厂有许多为形状为直角梯形的铁皮边角料，为节省资源，现如要图中所示的方法从这些边角料上截取矩形铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应分别为多少？24208yx例2:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0x6）∴024－4x≤84≤x6∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米32ababac442X=S==36“二次函数应用”的思路•1理解问题;•2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;•3.用数学的方式表示出它们之间的关系;•4.做数学求解;•5.检验结果的合理性,拓展等.智能提升（2007宁波)•1.用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E设CD=DE=xm，五边形的面积为S㎡,问当x取什么值时，S最大？并求出S的最大值DCBEAC解：连结EC,作DF⊥EC,垂足为F•∵∠DCB=∠CDE=∠DEA,∠EAB=∠CBA=90°,•∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°,•∵DE=CD,∴∠DEC=∠DCE=30°•∴∠CEA=∠ECB=90°•∴四边形EABC为矩形•DE=xm,AE=6-x,••(0＜x＜6)x=4m时S最大=12√3㎡xmECxmDF3,21xxS3643322.(2007江西）•如图在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度。过点D作DE∥BC交AC于点E，设点D运动时间为x秒，AE的长为y.•(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围ADBCE（2）当x为何值时，△BDE面积S有最大值，最大值为多少？AECBD例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；(2)当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等当P在线段AB上时21S△PCQ＝CQ•PB21=AP•PB)2(21xx=∴AP=CQ=x即S＝(0x2）xx221动画演示DACBPQ当P在线段AB的延长线上时S△PCQ＝21)2(21xxPBCQxx221即S＝(x2）DACBPQ(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有①＝２xx221②＝２xx2210422xx∴x1=1+,x2=1－(舍去)55∴当AP长为1+时，S△PCQ＝S△ABC5此方程无解练习4：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润是多少万元？last解:（1）设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得1.54222552.5abcabcabc1.54220abcabcc或1220abc解得2122tt∴s=last(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；解:把s=30代入s=2122tt2122tt得30=解得t1=10，t2=-6（舍去）答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元last(3)求第8个月公司所获利润是多少万元？解:把t=7代入，得S=212172710.522把t=8代入，得S=2182816216-10.5=5.5答：第8个月公司获利润5.5万元．last练习5:如图，已知半圆O的直径AB=8，M是半圆的中点，P是弧MB上的一个动点，PC=PA,PC与AB的延长线相交于点C，D是AC的中点，连接PO、PD，设PA=x，BC=y；(1)求y与x之间的函数关系式，并指出定义域；(2)当x为何值时，PC与⊙O相交？解：(1)∵OA=OP,PA=PC∴∠A=∠APO,∠A=∠C,∴ACAPAPAOyxx84∴∴8412xy8x24()∴∠APO=∠C,∠A=∠A∴⊿AOP∽⊿APClast动画演示xYBAMPDOC解:(2)PC与半圆O一定有公共点P，可能相切，可能相交所以只要排除相切即可。如果PC与半圆O相切，∴OP⊥PC,222OCPCOP∴222)4(4yx∴又∵8412xy22)4(4324yy∴解得，y1=4,y2=-8（舍去）此时x=34当x=时，PC与圆O相切34当,且x≠时，PC与圆O相交8x2434last动画演示xYBAMPDOC(1)二次函数与一元二次方程关系密切，解题的关键是要善于进行转化，且注意根的判别式的取值。归纳总结:(2)二次函数的最值在实际问题中的运用广泛，求解时应注意自变量的取值范围。(3)二次函数在几何问题中的运用，在求解进应注意图形位置的变化，注意运用分类讨论的思想方法。Email:[e-mail]