4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角定理的推论

数学新课标（BS）数学·九年级下册4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论4圆周角和圆心角的关系探究新知活动1知识准备1．如图3－4－6，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A，B两点，点P在优弧AB上，且与点A，B不重合，连接PA，PB，则∠APB的大小为________度．图3－4－6454圆周角和圆心角的关系2.如图3－4－7，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠AOC＝145°，则AD︵所对的圆心角的度数为________，CD︵所对的圆心角的度数为________，∠CAD的度数为________，∠ACD的度数为________．图3－4－7145°70°35°72.5°4圆周角和圆心角的关系活动2教材导学阅读教材的问题，并解答：在图3－4－8中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？解：BC所对的圆周角等于90°.证明：∵一条直径把圆分成两个半圆，半圆所对的圆心角是∠BOC＝________．∴∠BAC＝________＝________×180°＝________.(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半)图3－4－8180°12∠BOC1290°4圆周角和圆心角的关系思考：你能用一句话概括上述结论吗？◆知识链接——[新知梳理]知识点一新知梳理4圆周角和圆心角的关系知识点一圆周角定理推论2直径所对的圆周角是________角；90°的圆周角所对的弦是________．直直径4圆周角和圆心角的关系知识点二圆内接四边形及四边形的外接圆如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．4圆周角和圆心角的关系知识点三圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．[拓展]若圆内接四边形的对角相等，此时的四边形就变成矩形了．重难互动探究4圆周角和圆心角的关系探究问题一圆周角定理及其推论的实际应用例1如图3－4－9所示，A，B，C三点在⊙O上，AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别相交于点D和点E.求证：△ODA∽△CDE.图3－4－94圆周角和圆心角的关系[听课笔记]证明：如图，延长AO交⊙O于点F，连接CF，则∠ACF＝90°，∴∠CAO＋∠F＝90°.∵ED⊥AB，∴∠E＋∠B＝90°.又∵∠B＝∠F，∴∠CAO＝∠E.又∵∠ADO＝∠EDC，∴△ODA∽△CDE.4圆周角和圆心角的关系探究问题二圆内接四边形性质的应用例2如图3－4－10，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．求∠ACB的度数．图3－4－104圆周角和圆心角的关系[听课笔记][解析]连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，要求∠ACB的度数，根据圆内接四边形的性质只需求得∠ADB的度数，再根据圆周角定理只需求得圆心角∠AOB的度数，根据等腰三角形的三线合一，只需求得∠AOE的度数，根据垂径定理求得AE的长，再根据锐角三角函数即可由边之间的关系求得∠AOE的度数，进一步求得∠AOB的度数．4圆周角和圆心角的关系解：连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E.∵OA＝OB，∴AE＝BE.在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝3，∴sin∠AOE＝32.∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.∴∠ADB＝60°.又∵四边形ADBC为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.[归纳总结]圆中弦同侧的两圆周角相等，异侧的两圆周角互补．