矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：河南城建学院本科生毕业论文摘要I摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.河南城建学院本科生毕业论文AbstractIIAbstractMatrixisaveryimportantconceptinmathematicsandisamainobjectofstudyonlinearalgebraandimportanttool.Invertiblematrixplaysaveryimportantroleinthematrixtheory.Decidingwhetheramatrixreversibleplaysavitalroleinmatrixoperations.Toprovidemoreconvenientmethodstocalculatinginversematrix,thisarticleintroducesseveralmethods,includingdefinitionmethod，determinantmethod,elementarytransformationmethod,eigenvaluediscriminantmethod,rankdiscriminantanalysis,featurevaluedeterminationmethodandect.，accordingtothedifferentcharacteristicsofdifferentmatrixs.Italsobrieflydemonstratestheprincipleandprovidestherelevantexamples.Keyword:Invertiblematrix；Elementarytransformation；Rank;Featurevalue.河南城建学院本科生毕业论文目录III目录摘要..............................................................................................................................................IAbstract.....................................................................................................................................II引言................................................................................................................................................1第一章矩阵可逆的基本概念和定理...................................................................21.1基本概念........................................................................................................................21.2基本定理和推论..........................................................................................................3第二章矩阵可逆的性质...................................................................................................7第三章矩阵可逆的充分必要条件.............................................................................9第四章矩阵可逆的基本判别方法...........................................................................104.1定义法..........................................................................................................................104.2公式法或伴随矩阵法..............................................................................................114.3初等变换求逆法........................................................................................................124.4分块矩阵求逆法........................................................................................................13第五章矩阵可逆的其他判别方法...........................................................................165.1秩判别法.....................................................................................................................165.2向量组法.....................................................................................................................175.3线性方程组判别法...................................................................................................175.4特征值判别法............................................................................................................18第六章一些特殊矩阵的可逆性..............................................................................19小结..............................................................................................................................................22参考文献...................................................................................................................................23致谢..............................................................................................................................................24河南城建学院本科生毕业论文引言1引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具,广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.河南城建学院本科生毕业论文矩阵可逆的基本概念和定理2第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得ABBAE（1）这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A与A为同阶方阵,即11AAAAE.定义1.2如果B适合（1）,那么B就称为A的逆矩阵,记作1A.定义1.3如果n阶方阵A的行列式不等于0,则称A是非奇异的（或非退化的）；否则称A是奇异的（或退化的）.定义1.4设ijA是矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa中元素ija的代数余子式，矩阵1112121222*12nnnnnnAAAAAAAAAA,称为A的伴随矩阵.定义1.5矩阵()ijmnAa中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为()rA.定义1.6设()ijmnAa,称矩阵A的行向量组的秩为A的行秩,矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩,统称为矩阵A的秩,记为rA.定义1.7由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.定义1.8矩阵的三类初等变换：(1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列)乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ijp表示将单位矩阵的第i行与第j行对换后得到的矩阵：河南城建学院本科生毕业论文矩阵可逆的基本概念和定理3101101ijp.注ijp也可以由单位矩阵的第i列与第j列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(cpi等于将常数)0(cc乘以单位阵的第i行（或i列）而得到的矩阵：1()1ipcc.第三类初等矩阵()ijPc表示将单位阵的第i行（第j列）乘以c后到第i行（第j列）上得到的矩阵：101()01ijpcc.定义1.9如果n阶矩阵A满足EAAT(即TAA1),则称A为正交矩阵.定义1.10如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A与B是等价的.1.2基本定理和推论定理1.1矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化，而A可逆时1*1(||0)AAdAd证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000ddAAAAdEd（2）河南城建学院本科生