三角形全等的条件-要点全析

三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS”或“边边边”（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC和△A′B′C′中，①，＝，＝，＝CBBCCAACBAAB②∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC和△A′B′C′中．第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②．第三步；写出结论，如上边的③，△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB＝AC，D为BC中点．试说明∠B＝∠C是否成立，为什么？解：∠B＝∠C成立．∵D为BC中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，（公共边），＝（已证），＝（已知），＝ADADCDBDACAB∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD≌△ACD．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS”（1）SAS：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”．（2）表达格式为在△ABC和△DEF中（图13-2-3），＝，＝，＝EFBCDEFABCDEAB∴△ABC≌△DEF（SAS）．例如：如图13-2-4中，AD、BC相交于点O．OA＝OD，OB＝OC，那么AB＝DC是否成立．解：∵AD、BC相交于点O，∴∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）．在△AOB和△DOC中，（已知）＝（已证），＝（已知），＝OCOBDOCAOBODOA∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC和△DEF中，，＝，＝，＝DEFBDEABDA∴△ABC≌△DEF（AAS）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC和△DEF中，，＝，＝，＝EFBCDADEFB∴△ABC≌△DEF（AAS）．例如：如图13-2-6中，AB∥CD，AE∥DF，AB＝CD．求证：AE＝DF．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB．∵AE∥DF，∴∠AEB＝∠DFC．在△ABE和△DCF中，，＝，＝（已证），＝DFAEDFCAEBDCFABC∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL”（1）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝AC在Rt△ABD和Rt△ACD中，，＝，＝ADADACAB∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS”，一边一锐角对应相等可用“ASA”或“AAS”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS，两边一角的SAS和一边两角的ASA，AAS，那么“AAA”和“SSA”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE∥BC，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A，△ADE与△ABC有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a2＝b2，则a＝b．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵（－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴若a2＝b2，则a＝b，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E、F．求证：BF＝DE．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下CBDFACDFCDBDBCDCDEBABDE＝∥＝的中心是＝∥△BFD≌△DEC（ASA）BF＝DE（目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF＝DE△BFD≌△DEC已知∥＝已知中点是＝已知∥＝ACDFCBDFBCDCDBDABDECDEB（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面．即：已知中间条件结论综合法分析法例如：如图13-2-11，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD上任一点，连接EB、EC，求证：EB＝EC．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．CDBDDADADACAB＝为中心＝＝△ABD≌△ACD．＝，＝CDABDACADBAD再用分析：执果索因．EB＝EC△ABE≌△ACE已知＝＝已知＝AEAECAEBAEACAB△ABD≌△ACD．证明：∵D是BC的中心，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中（公共边），＝（已证），＝（已知），＝ADADCDBDACAB∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．在△ABE和△ACE中（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AEAECAEBAEACAB∴△ABE≌△ACE（SAS）．∴BE＝CE（全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE≌△CDE，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法—边一角对应相等一边SAS一角SAS或AAS两角对应相等一边ASA或AAS两边对应相等一角SAS一边SSS11．如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC、BD相交于O点，且AB＝CD，AC＝BD，判断∠A与∠D的关系，并说明理由．解：∠A＝∠D．连接BC，在△ABC与△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，则△ABC≌△DCB（SSS）．因此∠A＝∠D．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠D，试判断∠ABC与∠DCB的关系，并说明理由．解：∠ABC＝∠DCB．取AD的中点N，取月C的中点M．连接MN、BN、CN，则AN＝DN，BM＝CM，在△ABN和△DCN中，DCABDADNAN＝＝＝△ABN≌△DCN，则∠ABN＝∠DCN，NB＝NC（全等三角形的对应角、对应边相等）．在△BMN和△CMN中，MNMNCMBMCNBN＝＝＝△BMN≌△CMN，则∠MBN＝∠MCN（全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN＋∠MBN＝∠DCN＋∠MCN．即∠ABC＝∠DCB．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线