模糊综合评判及其应用

§1模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m个因素，我们对每一个因素给出一个评分is，计算出评判对象取得的分数总和miisS1按S的大小给评判对象排出名次。例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令ia表示对第i个因素的权重，并规定miia11，于是用miiisaS1按S的大小给评判对象排出名次。以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21nuuuU因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们综合地反映出对象的质量，人们就是根据这些因素给对象评价。（2）建立评判集},,,{21mVVVV例如对工业产品，评判集就是等级的集合。（3）建立单因素评判。即建立一个从U到)(VF的模糊映射UuVFUfi),(:~mimiiiiVrVrVrufu2211~~)(mjnirij1,1,10由~f可诱导出模糊关系~R，得到单因素评判矩阵nmnnmmrrrrrrrrrR212222111211~（4）确定权重。由于对U中各因素有不同的侧重，需要对每个因素赋予不同的权重，它可表示为U上的一个模糊子集},,,{21~naaaA并且规定niia11。（5）综合评判。在~R与~A求出之后，则综合评判为~~~RAB记},,,{21~mbbbB，它是V上的模糊子集。其中),,2,1()(1mjrabijinij如果评判结果mjjb11，应将它归一化。在模糊综合评判的上述步骤中，建立单因素评判矩阵~R和确定权重分配~A，是两项关键性的工作，没有统一的格式可以遵循，一般采用统计实验或专家评分等方法求出。二、应用实例例1对教师教学质量的综合评判。设因素集},,,,{54321uuuuuU这里1u为教材熟练，2u为逻辑性强，3u为启发性强，4u为语言生动，5u为板书整齐。设评价集},,,{4321VVVVV这里1V为很好，2V为较好，3V为一般，4V为不好。通过调查统计得出对某教师讲课各因素的评语比例如下：1V2V3V4V1u0.450.250.20.12u0.50.40.103u0.30.40.20.14u0.40.40.10.15u0.30.50.10.1因而得出单因素评判矩阵1.01.05.03.01.01.04.04.01.02.04.03.001.04.05.01.02.025.045.0~R假定确定权重分配为)1.0,2.0,2.0,2.0,3.0(~A得出综合评判如下)1.0,2.0,25.0,3.0(~~~RAB对结果进行归一化)12.0,24.0,29.0,35.0(85.01.0,85.02.0,85.025.0,85.03.0~B评判结果表明，对该教师的课堂教学认为“很好”的占35%，“较好”的占29%，“一般”的占24%，“不好”的占12%，根据最大隶属原则，结论是“很好”。例2评判某地区是否适宜种植橡胶。给定三个对橡胶生长影响较大的气候因素作为因素集，即},,{321uuuU。这里1u为年平均气温，2u为年极端最低气温，3u为年平均风速。再给定评价集},,,{4321VVVVV这里1V为很适宜，2V为较适宜，3V为适宜，4V为不适宜。根据历年的资料和经验，选定类似戒上型的隶属函数，即对于年平均气温1u230,)23(1123,1)(1211111uuauu其中1a为参数，一般取0625.01a。对于年极端最低温度2u84,)8(118,1)(2222222uuauu其中2a为参数，一般取0833.02a。对于年平均风速3u1,)1(111,1)(3233333uuauu其中2a为参数，一般取82/8.03a。将某地区自1960年至1978年间每年对三个气候因素实测的数据，分别代入上面三个隶属函数公式，求出当年该因素的隶属度列于下表：年份年平均气温年最低气温年平均风速19601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976197719780.890.910.850.930.890.920.940.800.880.850.850.800.910.930.850.910.810.880.920.670.670.750.620.680.710.690.570.650.670.720.620.640.590.580.610.710.610.700.550.550.500.500.550.710.660.600.710.660.830.600.600.710.710.660.660.780.83对隶属度的大小给予分类，即规定（1）当9.0时，为“很适宜”；（2）当8.09.0时，为“较适宜”；（3）当7.08.0时，为“适宜”；（4）当7.0时，为“不适宜”。以单因素1u为例，该地区在19年中“很适宜”的年份有8年，占总数的42%，“较适宜”的年份有11年，占58%，其他两种均无，占0%，于是得到对1u而言V上的模糊集)0,0,58.0,42.0(0058.042.04321~1VVVVu同理可得相对其它两个因素的模糊集)74.0,26.0,0,0(~2u)63.0,26.0,11.0,0(~3u从而建立了单因素评判矩阵63.026.011.0074.026.0000058.042.0~R根据三个气候因素的作用，给定权重分配为)01.0,80.0,19.0(~A得出综合评判如下)74.0,26.0,19.0,19.0(~~~RAB对结果进行归一化)53.0,19.0,14.0,14.0(~B根据最大隶属原则，结论是判定该地区种植橡胶为“不适宜”。例3污水处理厂运行管理效果的综合评判。为了评价污水处理厂经营管理的优劣，给定5个评判因素},,,,{54321uuuuuU这里1u为每天处理污水量（千吨/日），2u为五日生化需氧量BOD5去除率（百分比），3u为浮物SS去除率（百分比），4u为气水比（处理一吨污水消耗的空气量）（立方米/吨），5u为单耗（用去一公斤BOD5所耗电的度数）。给出评价集},,,,{54321VVVVVV这里1V为很好，2V为好，3V为中等，4V为差，5V为很差。根据实际情况进行定级，以1u为例，当181u时，定为“很好”；17181u时定为“好”等等，对各因素定级的划分见下表。很好好中等差很差每天处理污水量五日生化需氧量BOD5去除率浮物SS去除率气水比单耗18以上93以上93以上7以下0.9以下17~1889~9389~937~80.9~1.016~1785~8985~898~91.0~1.115~1680~8580~859~101.1~1.215以下80以下80以下10以上1.2以上对某污水处理厂多年运行的大量实测数据经技术处理后，按每一旬得出各因素的平均值，见下表。1u2u3u4u5u1u2u3u4u5u11.611.112.012.412.013.014.913.914.117.317.417.318.415.813.716.615.515.980.380.191.090.289.991.495.494.395.195.995.991.487.681.487.887.694.794.581.978.588.084.887.490.291.392.792.292.593.889.383.682.487.584.489.892.88.907.807.207.407.207.307.707.298.227.746.696.227.156.697.398.307.887.240.900.970.830.800.740.730.790.840.750.890.790.680.670.820.710.870.981.1115.915.716.816.017.416.315.416.118.716.616.017.513.916.615.916.114.814.493.895.595.994.290.891.192.994.194.695.696.195.796.895.897.296.896.297.288.495.094.392.090.091.690.395.095.894.991.093.394.789.694.894.194.496.67.777.518.128.849.157.809.286.646.547.007.566.808.204.892.053.466.527.091.301.001.051.020.941.060.950.810.660.941.131.081.241.250.790.980.950.74根据上表建立单因素评判矩阵~R，例如对因素4u而言，总共36次统计中它属于1V的次数为10，占总数的28%，因而28.041r，其余类似可求，于是得到10.006.014.020.050.0006.017.050.028.003.014.011.028.044.0008.008.020.064.036.019.025.014.006.0~R这是根据以往数据建立的评判矩阵。对今后每旬的运行效果的评价，还须求出权重分配~A，各个因素对~A的隶属度，用如下隶属函数公式计算：（1）1u对~A的隶属函数15,05.1615,)15(92185.16,)18(92118,1)(1121121111uuuuuuu（2）2u对~A的隶属函数80,05.8680,13802935.86,13932193,1)(2222222222uuuuuuu（3）3u对~A的隶属函数80,05.8680,13802935.86,13932193,1)(3323323333uuuuuuu（4）4u对~A的隶属函数10,0105.8,31025.87,37217,1)(4424424444uuuuuuu（5）5u对~A的隶属函数2.1,02.105.1,3.02.1205.19.0,3.09.0219.0,1)(5525525555uuuuuuu于是权重分配确定为))(,)(,)(,)(,)((5544332211~uuuuuA根据~~~RAB，即可得出当前运行效果的综合评判。例如该厂某月上旬的各项因素平均数据为：1u=13.9，2u=96.8%，3u=94.7%，4u=8.2，5u=1.