2018年中考数学总复习动点问题练习(含答案)

[键入文字]2018中考数学总复习动点问题因动点产生的等腰三角形问题练习1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544EDCDC，254EC．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PMDMQNDN．所以34QNPM，43PMQN．图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QNPM．所以319444CQCNQN．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QNPM．所以1531444CQCNQN．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QDDNQPDPDDM．在Rt△ABC中，3tan4BACCA．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PMQN．所以45333BPBMPM．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ，可得5425258CQ．所以QN＝CN－CQ＝257488（如图2所示）．此时4736PMQN．所以725366BPBMPM．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图62.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．[键入文字]（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BHPHBOCO，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．图2图34.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43yx的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1解：（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点A的坐标是(3，4)．令70yx，得7x．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APRACPPORCORASSSS△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222tttt（．整理，得28120tt．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．[键入文字]图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733tt，得418t．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]ttt，得5t．如7，当PA＝PQ时，那么12cosAQAAP．因此2cosAQAPA．解方程52032(7)335tt，得22643t．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5图6图75.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DCEBCEBF，即8mxxy．整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．(2)如图2，当m＝8时，2211(4)288yxxx．因此当x＝4时，y取得最大值为2．(3)若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y＝2代入12ym，得m＝6（如图3）；将x＝y＝6代入12ym，得m＝2（如图4）．图2图3图46.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；[键入文字]②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1图2图3解：（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．在Rt△BEG中，221ABBE，∠B＝60°，所以160cosBEBG，360sinBEEG．所以点E到BC的距离为3．（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3．在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．所以BG＝PQ＝1．因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．因此△PMN的周长为3＋7＋4．图4图5②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3．此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3．如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．此时x＝4．综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．图6图7图8