关于方程fx=0的根的研究新

目录1前言.........................................................................................................12方程()0fx根的存在性定理及其应用...............................................22.1方程根的存在性定理1及其应用.....................................................................................22.2方程根的存在性定理2及其应用.....................................................................................32.3方程根的存在性定理3及其应用.....................................................................................53方程()0fx根的唯一性定理及其应用...............................................63.1方程根的唯一性定理.........................................................................................................63.2应用举例.............................................................................................................................64方程根的个数讨论................................................................................84.1方程根的个数.....................................................................................................................84.2应用举例...........................................................................................................................115复合方程根的判别..............................................................................136结论.......................................................................................................19参考文献...................................................................................................20致谢...........................................................................................................21关于方程()0fx的根的研究数学系本1103班张东指导老师:殷摘要：求方程()0fx的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个方面研究()0fx的根，分别为：利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费马原理证明根的存在性；闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根的个数；复合方程的根应该遵循的原则。关键词:方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理ResearchonequayionrootDepartmentofMathematics,the1003classZhangDongInstructor:YinAbstract:Resultingequayionrootoccupiesanimportantpositioninthehighschoollearningalgebra,sofromfouraspectstostudyrootequayion.Suchas,usingtheintermediatevaluetheorem,rooletheoremofhighermathematicsandfermat’stheoremprovingtheexistenceoftheroot;Thecontinuityoffunctiononclosedintervaltheorem,monotonicitytoprovetheuniquenessoftheroot;Thenumberofderivativetostudyequayionrootof;Shouldfollowtheprincipleoftherootsofcomplexequations.Keywords:equayion;theroot;intermediatevaluetheorem;Rolle’stheorem;Fermat’stheorem;Thefunctionextremevalue;derivative1前言求方程()0fx的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。有学者在这方面已经作了一定的研究,如余剑鸣在《对方程()0fx根的题型分析》中给出有关方程根的三类题型:方程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在《关于方程的根的一些讨论》一文中也是综合了上述观点；江志杰在《例说复合方程根的判别原则》中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程()0fx根的解法进行阐述。本文分为四章，分别为方程()0fx根的存在性定理、证明及其应用，唯一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。掌握方程()0fx的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别,能够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。2方程()0fx根的存在性定理及其应用2.1方程根的存在性定理1及其应用定理1[1](零点定理)如果()0fx在闭区间[,]ab上连续,且()()0fafb，则至少存在一点,abc（），使得(c)0f，即方程()0fx在,ab（）内至少有一个根。这个定理的几何解释如图2.1.1所示：若点A（a,()fa）与B（,(b)bf）分别在x轴的两端，则连接A、B的连接曲线()yfx与x轴至少有一个交点。图2.1.1证明：利用构造法的思想,将)(xf的零点范围逐步缩小。先将[,]ab二等分为],2[],2,[bbabaa，如果0)2(baf,则定理获证。如果0)2(baf，则()fa和()fb中必然有一个与)2(baf异号,记这个小区间为11[,]ab,它满足2-0)()(1111ababbfaf且区间的长度。又将11[,]ab二等分，考虑中点的函数值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得()fx在这个区间的端点值异BbAaOc(b)f(a)fxy号,记这个小区间为],[22ba，它满足1122[,][,][,]ababab，2222baba且22()()0fbfa。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列[,]nnab，它满足:①1122[,][,][,]ababab；②2nnnbaba；③()()0nnfbfa。由单调有界定理，可知],[limlimbabannnn，如果0)(f，则定理可证。如果0)(f，因为()fx在点连续，故由连续函数的局部保号性：存在一个0，使得()fx在],[),(ba上与)(f同号。根据构造的区间的性质②，有，存在正整数N，当nN时，],[),(],[babann。根据区间的性质③，0)()(nnafbf，与定理矛盾。综上所述，只有0)(f，且],[ba。定理获证。注：上面所采用的证明方法是对大学数学非常有用的二分法，这个思想可以应用于各个领域，实际上nnba,是函数零点的近似值。例1证明方程521xx在区间(1,2)内存在实根。证：设函数5()21fxxx，()fx在区间(1,2)内连续，且(1)20f，(2)270f。由定理1可知，必存在(1,2)，使5()210f，即(1,2)是方程521xx的一个实根。2.2方程根的存在性定理2及其应用定理2[1]（罗尔(Rolle)中值定理）若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[,]ab上连续；(ii)f在开区间(,)ab内可导；(iii)(a)f(b)f，则在(,)ab内至少存在一点c，使得(c)0f。罗尔定理的几何意义可以理解为：在每一点都存在导数的连续曲线上，如果这段曲线的两个端点的纵坐标相等，那么至少存在一条水平切线。（如图2.2.1）图2.2.1证：因为f在[,]ab上连续，所以有最大值和最小值，分别用M和m表示，现分两种情况来讨论：（1）若mM，则f在[,]ab上必为常数，从而结论显然成立；（2）若mM，则因(a)f(b)f，使得最大值M与最小值m至少有一个在(,)ab内某点c处取得，从而c是f的极值点。由条件(ii)，f在点c处可导，固由费马定理推知()0fc。例2设函数()fx在(a,b)内有二阶导数,且123()()()fxfxfx,其中123axxxb。证明方程()0fx在13(,)xx内至少有一个实根。abABcOyx证：由题可知，函数()fx在12[,]xx，23[,]xx上连续，在12(,)xx,23(,)xx内可导，且123()()()fxfxfx。由罗尔定理,我们可得，至少存在点112(,)xx,223(,)xx,使得12()()0ff。又因为()fx在12[,]上连续,在12(,)内可导,由罗尔定理可得，至少存在一点1213(,)(,)xx,使得()0f,即方程()0fx在13(,)xx内至少有一个实根。2.3方程根的存在性定理3及其应用定理3[1]（函数极值存在的必要条件）若函数()fx在(,)ab内可导，且有极值(c)[c(a,b)]f，则(c)0f。这个定理的几何意义为：如果函数()fx在极值点0xx可导，则在该点的切线就平行于x轴。例3设()fx在[0,]上连续,在(0,)可导，并且满足(0)0f,lim()0xfx，则存在(0,)，使得()0f。解:如果()0fx,那么在(0,)上处处有()0fx,故不妨设()fx在(0,)不恒等于零。于是存在一点10x