复变函数论-第四章-复级数

第四章复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求:了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点:解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数.课时：2学时1.复数项级数定义4.1复数项级数就是121nnnzzzz(4.1)其中nz(1,2,)n为复数定义4.2对于复数项级数(4.1)，设n121nnnkzzzz(4.2)若limnn存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1limlim()0nnnnnz(4.3)其次，由复数的性质易于推得定理4.1设111nnnnnnzaib(4.4)其中,nnab(1,2,)n均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1nna与1nnb均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N，使nN及PN，均有11PnknnPkzzz定义4.3若级数1nnz收敛，则称级数1nnz为绝对收敛.由关系式1kka及2211111kkkkkkkkkkkbzabab及定理4.1即可推得.定理4.3级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kka及1kkb绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数.例1.对于级数1nna当1a时，由于111121nknnkaaaa，而当1a时，1lim0nna，于是1lim1nna因此级数1nna(1)a收敛且有111nnaa，显然，当1a时，级数1nna亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)nfzn在复平面点集E上有定义，则称级数11()()()nnnfzfzfz(4.5)为定义在E上的复函数项级数.定义4.5设函数()fz在E上有定义，如果zE，级数(4.5)均收敛于()fz，则称级数(4.5)收敛于()fz，或者说级数(4.5)和函数()fz记作1()()nnfzfz(4.6)定义4.6如果0,()NN，使得当nN时，对任一zE，均有1()()nkkfzfz则称级数(4.5)在E一致收敛于()fz.与定理4.2类似地我们有定理4.4级数(4.5)在E上一致收敛的充要条件是：0,()NN，使当nN时，对任一zE及PN均有1()()nnPfzfz由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5(魏尔斯特拉斯M-判别法)设()(1,2,)nfzn在点集E上有定义12naaa为一收敛正项级数，若在E上成立()(1,2,)nnfzan则级数(4.5)在E上一致收敛于()fz，则()fz在E上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6设()(1,2,)nfzn在复平面点集E上连续，级数(4.5)在E上一致收敛于()fz，则()fz在E上连续.定理4.7设()nfz(1,2,)n在简单曲线C上连续，级数(4.5)在C上一致收敛于()fz，则1()()nnCCnfzdzfzdz.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7设函数()nfz(1,2,)n在区域D内解析,如果级数(4.5)在D内任一有界闭区域上一致收敛于函数()fz,则称级数(4.5)在D内闭一致收敛于()fz.由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8设函数()(1,2,)nfzn在区域D内解析,级数1()nnfz在D内中闭一致收敛于函数()fz,则()fz在D内解析,且在D内成立()()1()()kknnfzfz(1,2,)k证明:0zD,取0r,使得0(,)UzrD.在U内任作一条简单闭曲线C,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0nCCnfzdzfzdz.因而由莫勒拉定理知()fz在U内解析,再由0zD的任意性即得()fz在D内解析.其次,设U的边界rCD,由已知条件得1()nnfz在rC上一致收敛于()fz,从而110()()knfzzz在rC上一致收敛于10()()kfzzz,根据定理4.7,我们有10!()2()rkCkfzdzizz110()!2()rnkCnfzkdzizz即()()001()()kknnfzfz(1,2,)k于是定理结论成立.作业:第178页1.§2幂级数教学目的与要求:了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点:幂级数收敛半径的求法;幂级数在收敛圆内一些基本性质.难点：幂级数在收敛圆周上的性质.课时：2学时定义4.8形如()000100()()()knnnnnfzazzaazazz(4.7)的级数称为幂级数,其中z是复变量,(1,2,)nan是复常数.特别地,当00z时,级数(4.7)就变为010nnnnnazaazaz(4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z时,级数(4.8)总是收敛的.当00z时,则有定理4.9如果幂级数(4.8)在1(0)z收敛,则对任意满足1zz的z,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z发散,则对任意满足2zz的z,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z收敛.1lim0nnnaz从而0M,使得1nnazM(0,1,2,)n其次,级数(4.8)可写成101()nnnnzazz,因此111nnnnnnzzazazMzz1(1)nzkz由于级数0nnMk收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R,(0)R,使得级数(4.8)当zR时绝对收敛,当zR时发散.R称为级数(4.8)的收敛半径,zR称为收敛圆,当R时,我们说(4.8)的收敛半径是,收敛圆为复平面.当0R时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10(柯西Cauchy阿达玛Hadamard公式).若以下条件之一成立.(1)1limnnnala(4.9)(2)limnnnla(4.10)则当0l时,(4.2)的收敛半径1Rl,当R,l时,0R.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11设幂级数(4.8)的收敛圆为:VzR.则它的和函数.01()nnfzaazaz(4.11)在V内解析,且()1()!(1)!(1,2,)nnnfznanazn(4.12)证明:事实上,对0rR,则在zr上nnnnazar由定理4.9知级数(4.8)在zr上绝对收敛,从而根据M判别法知(4.8)在zr上一致收敛,故(4.8)在zr中内闭一致收敛,在zr内,(4.2)的和函数()fz解析且(4.12)成立,由0rR的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.例2级数2111nzzzz的收敛半径为1由于在收敛圆1z上,此级数一般不趋于0,因而在1z上级数处处发散,但其和函数却除1z处处解析.例3级数11(1)nnznn的收敛半径为1在收敛圆1z上,11(1)(1)nznnnn而级数11(1)nnn收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业:第178页2(1)(3)3(2)§3解析函数的泰勒Taylor展式教学目的与要求:了解泰勒定理;掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点:泰勒定理,初等函数的泰勒展开式.难点：泰勒定理证明.课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor展式)设函数()fz在圆0:UzzR内解析,则在U内()00000()()()()()()1!!nnfzfzfzfzzzzzn(4.13)证明:1zU,以1z为心作一圆CU,且使1zC,(如图4.1)CUR图4.1z0z1则由柯西公式111()()2Cffzdiz(4.14)而当C时,1001zzqz,因此有101011()zzzz01100000()11()1nnnzzzzzzz(4.15)由于(4.15)右端级数当C时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()nnfzaazzazz(4.16)其中()010()1()2()!nnnCfzfadizn(1,2,)n(4.17)由1z为U内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2幂级数是它的和函数()fz在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!nnfzafzan(1,2,)n推论4.3函数()fz在一点0z解析的充要条件是:()fz在0z的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式.二．求泰勒展式的方法1．求Taylor系数nC=()()!nfan如求ze在z=0的展开式0C=0e=11C='0()1!zze=11!,1!nCn,ze=1+z+22!z+33!z+=0!nnznz2.利用级数的运算。,,如210001sin122!!21!nniziznnnnnizizeezziinnnz如1zez在0z展开23231112!3!zezzzzzzz1z=2300111111111111!1!2!1!2!3!!nnnpzzzzp3．逐项微分法如：21200cossin1121!2!nnnnnnzzzznnz4.逐项积分法。如：求ln1z在0z的展开式。01ln1ln1ln11zdzz（主支）（其中取K=0分支，即ln10分支）又2342300111234zzzzzddz1zln1z主支1111nnnzzn一般地ln1z=ln(1+z)+2ki5．级数代入级数法如ln121ln121zkiLnzzkizeeee222323ln1111ln12!232!23zuzzzzeuzzuz其中23112123!zzz1111!nnnzn