2011高中数学精品复习课件：圆与方程

1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25D.(x-8)2+(y+3)2=25半径所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选D.2(85)2(31)5rCA，D2.方程y=对应的曲线是（）原曲线方程可化为x2+y2=4（y≤0），表示下半圆,选A.24xA3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0B设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为5.所以=5,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B.易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.b4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为.设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.111022ab111ba5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=.依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心所以解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3.易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.321,2aa（），21102aa，1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；当D2+E2-4F0时，不表示任何图形.,22DE（），12r224DEF；3.点与圆的位置关系圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b），半径r，若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2r2;若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2r2.4.对称问题圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线y=-x的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的弦，圆心O到弦AB的距离为d，圆半径为r,则222.ABrd重点突破：圆的方程（Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.（Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.例1（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在y=0上,故b=0，所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB==-1,故l的斜率为1,又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0.4213又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，所以半径故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为所以点P在圆外.2211420rAC2221425dPCr，(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0·E+F=0，解得D=-2E=6F=-15.所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些.变式练习1根据下列条件求圆的方程.（Ⅰ）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4.（Ⅱ）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4.3102(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.①4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令x=0,由①得y2+Ey+F=0.②由已知其中y1,y2是方程②的两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.将P,Q点的坐标代入①式得1243yy，(Ⅱ)解法1：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，由圆心在直线y=2x上，得b=2a，①由圆在直线x-y=0截得的弦长为4，将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得化简得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.22222()2(10)42abab，解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离，所以又已知b=2a，解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.224210822dr（）22abd，重点突破：与圆有关的最值问题已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0（Ⅰ）求y-x的最大值和最小值,（Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.例2方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形是圆.(Ⅰ)y-x看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.203,2b666（Ⅱ）x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2-)2=7-4.涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用.2220002（）（），3333已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值与最小值.设=k，即y=kx，当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值.因为圆心（2,0）到直线y=kx的距离为，所以得k=±.所以变式练习2yxyx322031kk，3maxmin33.yyxx（），（）重点突破：直线与圆的方程的应用图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01）.例3先建立直角坐标系，只需求出P2的纵坐标，就可得支柱A2P2的高度.建立如图所示的直角坐标系,设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2，下面确定b和r的值.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2，02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2，解得：b=-10.5,r2=14.52.于是得到方程组所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得（-2）2+（y+10.5）2=14.52.因为y0,所以-10.5≈14.36-10.5=3.86m答：支柱A2P2的长度约为3.86m.2214.52y（）直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用，用坐标方法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算的结果的几何含义，得到几何问题的结论.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心O位于轮船A正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口B位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？变式练习3以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0；因为圆心O到直线的距离所以这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响.28365d，已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.利用OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，在利用勾股定理求解.例4设已知圆的圆心为C，弦PQ中点为M，因为CM⊥PQ,所以kCM=2，所以CM所在直线的方程为即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得M的坐标为（-1，2）.1322yx（），由方程组则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因为OP⊥OQ所以点O在以PQ为直径的圆上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.在Rt△CMQ中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以m=3.所以半径为，圆心为(-，3).在解决与圆有关的问题中.借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算.22116413225.24m（）（）（）52121.求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；③解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.2.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地①形如形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的最值问题.ybuxa3.点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径r的大小来判断.4.圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注意圆心半径及平面