(校级优质课)1.3.2函数的极值与导数习题课

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习函数的极值与导数习题课课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)0课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)极大值与极大值点如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的，极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为．f′(x)0f′(x)0极大值点极大值极值点极值课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？提示一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【例1】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．[解]∵f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′－1＝0，f－1＝0.即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解之得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0.∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．[思路探索]先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1建立关于a，b，c的方程组．求出a，b，c值，再由判定极值的方法判定其极值情况．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x－1或x1时，f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【例3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．(1)依据求函数极值的方法求解．(2)根据极值大小分析函数图象情况，据此可求出实数a的值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答](1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.(2分)又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1，－1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.(4分)所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(6分)(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，(8分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习如图(1)此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，.(10分)如图(2)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.综上，当a＝2，或a＝－2时方程恰有两个实数根．(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【练习】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的大致走向如图所示，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实数根．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习例3、已知函数（1）当a=0时，求曲线在点处的切线斜率。（2）当时，求函数的单调区间与极值。)()32)(22RaRxeaaaxxxfx，，（))1(1(f，32a