2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题1 第2讲 函数的图象与性质

第2讲函数的图象与性质第2讲函数的图象与性质主干知识整合第2讲│主干知识整合1．函数及其性质(1)函数的定义：函数是定义在两个非空数集A、B上的映射，它由定义域、值域和对应法则组成．(2)函数的性质：函数的性质反映了函数的变化规律，高考中常考的函数性质是单调性、奇偶性和周期性．(3)函数是增(减)函数，其几何意义是函数图象上任意两点的连线的斜率都大于(小于)零．函数是偶函数的充要条件是函数的图象关于y轴对称；函数是奇函数的充要条件是函数的图象关于原点对称．如果函数有周期T，则T的正整数倍是函数的周期，其负整数倍也是函数的周期．第2讲│主干知识整合2．函数的图象(1)函数的图象是最直观表达函数关系的一个重要工具，也是最直观表达函数基本性质的一种重要形式．(2)高考对函数图象的考查以基本初等函数的图象为基础，形式可以是知式选图、知图选式，还可以是图象变换、运用图象解题．(3)常见的函数图象变换方式有四种：平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换．要点热点探究第2讲│要点热点探究►探究点一函数的定义域和值域例1[2011·江西卷]若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)第2讲│要点热点探究【分析】由对应的函数有意义，列出相关的不等式(或不等式组)，然后再求解．A【解析】根据题意得log12(2x＋1)0，即02x＋11，解得x∈－12，0.故选A.第2讲│要点热点探究【点评】本题考查函数的定义域，利用分式的分母不为0、根式开偶次方被开方数非负及对数的真数为正数是解题的关键．求给定函数解析式的定义域，往往归结为解不等式或不等式组的问题，在解不等式组的时候要特别细心，可借助数轴求交集，并且要留心端点值或边界值的取舍．第2讲│要点热点探究已知函数f(x)＝12x＋1－12的定义域是R，则f(x)的值域是_______.－12，12【解析】方法一：∵2x0，∴2x＋11，∴012x＋11，则－1212x＋1－1212.即函数f(x)＝12x＋1－12的值域是－12，12.方法二(反函数法)：由y＝12x＋1－12，得2x＝1－2y1＋2y.∵2x0，∴1－2y1＋2y0，解得－12y12，即函数f(x)＝12x＋1－12的值域是－12，12.第2讲│要点热点探究►探究点二函数的求值例2[2011·浙江卷]设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x0.若f(α)＝4，则实数α＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2第2讲│要点热点探究【分析】由于本题是已知函数的值，逆向探求自变量的值，因此可以采用逐个代入验证的方法，也可以直接求解．B【解析】当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.【点评】本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数的求值，高考有三种命题形式：①直接代值求值，但要注意对应分段函数定义域的范围；②变换后代值求值，即先利用函数的周期性、对称性将自变量变换到分段函数的定义域范围内，再代入求值；③逆向求值，即已知函数值求自变量的值．第2讲│要点热点探究定义在R上的函数f(x)＝log21－x，x≤0，fx－1－fx－2，x＞0，则f(2011)的值为()A．－1B．0C．1D．2A【解析】依题意知，当x＞0时，f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x＞0时，函数f(x)的周期为6.因此f(2011)＝f(6×335＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝log21－log22＝－1.第2讲│要点热点探究►探究点三函数的图象例3[2011·陕西卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()图2－1第2讲│要点热点探究【分析】先由两个题设条件，得到函数是周期为2的偶函数，再结合图象分析，得到正确的选项．B【解析】由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.【点评】本题考查抽象函数的图象与性质，将由条件递推出的函数模型，对照选项与几何性质的准确对应是解题的关键．函数的图象变换问题是高考常见的一种命题方式，要求学生熟练地掌握一些简单函数图象的作法，掌握图象的平移、对称、伸缩变换，并能通过图象的特征研究函数的性质．第2讲│要点热点探究已知函数f(x)＝－2x－1≤x≤0，x0＜x≤1，则下列函数的图象错误的是()ABCD图2－2第2讲│要点热点探究D【解析】先在坐标系内作出函数y＝f(x)的图象，然后将图象向右移一个单位得y＝f(x－1)的图象，即选项A；关于y轴对称即得y＝f(－x)的图象，即选项B；将图象在x轴下方部分沿x轴对称到x轴上方即得y＝|f(x)|的图象，即选项C；将函数图象在y轴右侧的部分关于y轴对称即得y＝f(|x|)的图象，易知D选项不符合条件．第2讲│要点热点探究►探究点四函数的性质的应用例4[2011·广东卷]设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数第2讲│要点热点探究【分析】从奇函数和偶函数的定义检验．A【解析】因为g(x)在R上为奇函数，所以|g(x)|为偶函数，则f(x)＋|g(x)|一定为偶函数．【点评】本题考查函数奇偶性的定义，利用定义判断函数的奇偶性是最基本的方法．理解函数的奇偶性还可以从函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对称问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．第2讲│要点热点探究已知函数f(x)＝2a－1x＋a，x≥1，logax，0x1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为()A.0，12B.0，13C.13，12D.12，1第2讲│要点热点探究B【解析】要使函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)＝(2a－1)x＋a与f(x)＝logax在其定义域上分别单调递减，∴2a－10，a1，解得0a12.又由题意知f(1)＝2a－1＋a≤0，即a≤13.综合，得0a≤13.第2讲│要点热点探究►热点链接2抽象函数解题思路所谓抽象函数问题就是不给出函数的解析式，只给出函数满足的一些条件的函数问题，这类问题主要题型是推断函数的其他性质、研究特殊的函数值、解直接由函数给出的不等式等．抽象函数问题的难点就是没有给出函数的解析式，需要我们根据函数满足的一些已知条件推断函数的性质，然后根据函数的性质解决问题，可以说推断函数性质是我们解决抽象函数问题的一个基本思想．如果是选择题或者填空题可以找到满足已知条件的具体函数，通过具体函数解决一般性问题．第2讲│要点热点探究例5定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)．【分析】根据给出的函数的等式，f(x＋1)＝－f(x)，把其中的x替换成x＋1后，再次使用上面关系可得f(x＋2)＝f(x)，再根据函数是偶函数可得f(x＋2)＝f(－x)，即可得函数图象关于直线x＝1对称，再根据函数是偶函数，其图象还关于y轴对称，即可根据函数在已知区间上的单调性推断该函数在未知区间上的单调性．第2讲│要点热点探究【答案】①②④【解析】由f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，命题①正确；由于函数f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝f(－x)，函数图象关于直线x＝x＋2－x2＝1对称，故命题②正确；由于函数f(x)是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；根据周期性，f(2)＝f(0)，命题④正确．第2讲│要点热点探究【点评】解这类抽象函数试题，关键是对函数满足的等式的变换，通过变换首先得到其周期性，再根据函数的性质对各个结论作出判断，本题中关系式f(x＋1)＝－f(x)，可以变换为f(x＋1)＝－f(－x)，这个等式说明函数图象关于点12，0中心对称．第2讲│要点热点探究已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x2时，f(x)单调递增，如果x1＋x24且(x1－2)(x2－2)0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负第2讲│要点热点探究A【解析】根据不等式(x1－2)·(x2－2)0，可得x1，x2的值一个大于2、一个小于2.由题意知x1，x2的地位是对等的，不妨设x12，x22，当x12，x22，x1＋x24时，可得2x24－x1，又x2时函数f(x)单调递增，所以f(x2)f(4－x1)＝－f(x1)，即f(x1)＋f(x2)0.第2讲│要点热点探究[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)B【解析】设G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f′(x)2，所以G′(x)＝f′(x)－20恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－40，即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.规律技巧提炼第2讲│规律技巧提炼1．函数的定义域是研究函数性质的基础和前提，要树立“定义域优先”的解题原则；求函数值域时，不仅要重视对应法则的应用，还要特别注意定义域对值域的制约作用．2．给出函数解析式的作图问题要注意对解析式的化简，并结合函数的性质，运用平移、对称、伸缩、翻折等方法；没有给出解析式的作图问题应充分运用题设条件与性质作出特殊图形．第2讲│规律技巧提炼3．由周期函数的定义“若函数f(x)满足f(x)＝f(x＋a)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①若函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋a)(a≠0)，则f(x)是周期为2a的周期函数；②若f(x＋a)＝1fx(a≠0)恒成立，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－1fx(a≠0)恒成立，则T＝2a.第2讲│教师备用例题教师备用例题例1可作要点热点探究中例3的补充题．本题是一道有线性规划背景的创新问题，在直线y＝t(t∈[－1,1])的动态变化过程中，估计面积函数S＝f(t)的图象的大致形状，考查学生的想象能力．例2可作要点热点探究中例4的补充题．把函数的求值问题和函数的性质结合起来，是高考常见的命题形式，特别是涉及分段函数、周期函数的求值题，需要在教学中加强训练和提升．第2讲│教师备用例题例1设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积为S”，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为()ABCD第2讲│教师备用例题【解析】C平面区域D为如图所示的阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除D；当t＝－