刚体力学-习题库

第四章刚体力学一、计算题1.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为221MR，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体：mg－T＝ma①2分对滑轮：TR=J②2分运动学关系：a＝R③1分将①、②、③式联立得a＝mg/(m＋21M)1分∵v0＝0，∴v＝at＝mgt/(m＋21M)2分2.如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA＝10kg和mB＝20kg，半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为221AAArmJ和221BBBrmJ)解：根据转动定律fArA=JAA①1分其中221AAArmJ，且fBrB=JBB②1分其中221BBBrmJ．要使A、B轮边上的切向加速度相同，应有a=rAA=rBB③1分由①、②式，有BBBAAABABABABArmrmrJrJff④由③式有A/B=rB/rA将上式代入④式，得fA/fB=mA/mB=212分3.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mg­T＝ma①2分Tr＝J②2分由运动学关系有：a=r③2分由①、②、③式解得：J＝m(g－a)r2/a④mMRTMRTmgafBBAfArBrAmOr又根据已知条件v0＝0∴S＝221at，a＝2S/t2⑤2分将⑤式代入④式得：J＝mr2(Sgt22－1)2分4.质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为10kg的圆柱体．桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力．辘轳绕轴转动时的转动惯量为221MR，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计．解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程mg－T＝ma①1分TR＝J②1分a＝R③1分由此可得T＝m(g－a)＝mJTRg/那么mgJmRT21将J=21MR2代入上式，得mMmMgT2＝24.5N2分5.一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为231ml，其中m和l分别为棒的质量和长度．求：(1)放手时棒的角加速度；(2)棒转到水平位置时的角加速度．解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律M=J1分其中4/30sin21mglmglM1分于是2rad/s35.743lgJM1分当棒转动到水平位置时，M=21mgl1分那么2rad/s7.1423lgJM1分TrTamgTMRTmglO60°mg6.一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg，半径为R＝0.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝221MR，其初角速度0＝10.0rad/s，方向垂直纸面向里．求：(1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到＝0时，物体上升的高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．解：(1)∵mg－T＝ma1分TR＝J2分a＝R1分∴=mgR/(mR2＋J)RMmmgMRmRmgR222122＝81.7rad/s21分方向垂直纸面向外．1分(2)∵2202当＝0时，rad612.0220物体上升的高度h=R=6.12×10-2m2分(3)210.0rad/s方向垂直纸面向外.2分7.一质量为M＝15kg、半径为R＝0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J＝221MR)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：(1)物体自静止下落，5s内下降的距离；(2)绳中的张力．解：J＝221MR＝0.675kg·m2∵mg－T＝ma1分TR＝J2分a＝R1分∴a＝mgR2/(mR2+J)＝5.06m/s21分因此(1)下落距离h＝221at＝63.3m2分(2)张力T＝m(g－a)＝37.9N1分8.一半径为25cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t=5s时(1)圆柱体的角加速度，(2)圆柱体的角速度，(3)如果圆柱体对转轴的转动惯量为2kg·m2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉mMR0TTmgamgTTMgaFR力为多少？解：(1)圆柱体的角加速度＝a/r＝4rad/s22分(2)根据tt0，此题中0=0，则有t=t那么圆柱体的角速度55ttt20rad/s1分(3)根据转动定律fr=J则f=J/r=32N2分9.一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg，半径为R＝0.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝221MR，其初角速度0＝10.0rad/s，方向垂直纸面向里．求：(1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到＝0时，物体上升的高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．解：(1)∵mg－T＝ma1分TR＝J2分a＝R1分∴=mgR/(mR2＋J)RMmmgMRmRmgR222122＝81.7rad/s21分方向垂直纸面向外．1分(2)∵2202当＝0时，rad612.0220物体上升的高度h=R=6.12×10-2m2分(3)210.0rad/s方向垂直纸面向外.2分10.一质量为M＝15kg、半径为R＝0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J＝221MR)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：(1)物体自静止下落，5s内下降的距离；(2)绳中的张力．解：J＝221MR＝0.675kg·m2∵mg－T＝ma1分TR＝J2分a＝R1分∴a＝mgR2/(mR2+J)＝5.06m/s21分mMR0TTmgamgTTMgaFR因此(1)下落距离h＝221at＝63.3m2分(2)张力T＝m(g－a)＝37.9N1分11.一半径为25cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t=5s时(1)圆柱体的角加速度，(2)圆柱体的角速度，(3)如果圆柱体对转轴的转动惯量为2kg·m2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：(1)圆柱体的角加速度＝a/r＝4rad/s22分(2)根据tt0，此题中0=0，则有t=t那么圆柱体的角速度55ttt20rad/s1分(3)根据转动定律fr=J则f=J/r=32N2分12.长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为h的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？解：当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态(不稳定的)．1分N1－f＝0，N2－P＝01分N1h－Px·ctg＝01分f＝N21分解得222/tghLhhx1分13.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k(k为正的常数)，求圆盘的角速度从0变为021时所需的时间．解：根据转动定律：Jd/dt=-k∴tJkdd2分两边积分：ttJk02/dd100得ln2=kt/J∴t＝(Jln2)/k3分LRhRN1hRN2RPRRxRf14.一圆柱体截面半径为r，重为P，放置如图所示．它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为31．若对圆柱体施以向下的力F＝2P可使它刚好要反时针转动，求(1)作用于A点的正压力和摩擦力，(2)力F与P之间的垂直距离d．解：设正压力NA、NB，摩擦力fA，fB如图．根据力的平衡，有fA＋NB=F+P=3P①1分NA=fB②1分根据力矩平衡，有Fd=(fA+fB)r③2分刚要转动有AANf31④BBNf31⑤1分(1)把④及②、⑤代入①可求得NA=0.9P，fA=0.3P2分(2)由③可求得d=0.6r1分15.一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为221mr．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．解：受力分析如图所示．2分2mg－T1＝2ma1分T2－mg＝ma1分T1r－Tr＝221mr1分Tr－T2r＝221mr1分a＝r2分解上述5个联立方程得：T＝11mg/82分16.质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．解：受力分析如图．2分ARBRFRrRORPdRARBRFRrRfBPdRfANBRNARm,rm2mm,rm2mT22P1PTaT1amrmm2m2rmg－T2=ma21分T1－mg=ma11分T2(2r)－T1r=9mr2/22分2r=a21分r=a11分解上述5个联立方程，得：rg1922分17.质量m＝1.1kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J＝221mr(r为盘的半径)．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．解：撤去外加力矩后受力分析如图所示．2分m1g－T=m1a1分Tr＝J1分a＝r1分a=m1gr/(m1r+J/r)代入J＝221mr,a=mmgm2111=6.32ms22分∵v0－at＝02分∴t＝v0/a＝0.095s1分18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M/4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为21M的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2/4)解：受力分析如图所示．设重物