2020届高三一轮复习立体几何大题

1PABCDE1如图，在直三棱柱111ABCABC中，190,30,1,6ooACBBACBCAA,M是棱1CC的中点.(1)求证：1ABAM；(2)求直线AM与平面11AABB所成角的正弦值.2图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA平面ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且1,,ABAAEF分别是1,CCBC的中点（1）求证：1BF平面AEF；（2）求锐二面角1BAEF的余弦值.3四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA⊥平面ABCD，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PD与平面BDE所成角的大小．FEC1B1A1CBA2EFABCPD4如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，FE,分别是PCAB,的中点，121ADAB．（1）求证：//EF平面PAD（2）若4PDA，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．5如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．(1)求PD与BC所成角的大小；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)求二面角A-PC-D的大小．6如图，在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC是边长为4的正方形，平面ABC平面11AACC，3,5ABBC（Ⅰ）求证：1AA平面ABC；（Ⅱ）求二面角111CABC的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段1AB上是否存在点E，使得DE∥面11AACC？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由.ABCABCD1113ABFPEDC7如图：在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形，60DAB，ABCDPD平面，1ADPD，点FE,分别为PDAB和的中点.（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC;（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值.8如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，90ADE，DEAF//，22AFDADE.(Ⅰ)求证：//AC平面BEF；(Ⅱ)求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．9直三棱柱111ABCABC中，11AAABAC，E，F分别是1CC、BC的中点，11AEAB，D为棱11AB上的点.（1）证明：DFAE;（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.ABCDFEEDFB1BA1AC1C41(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0),A1(3,0,6),A(3,0,0),M(0,0,62),所以16AB(3,1,6),AM(3,0,)2,所以1ABAM=3+0-3=0,所以1ABAM，即A1B⊥AM.(2)由(1)知AB=(-3,1,0),1AA=(0,0,-6),设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),则3xy0,6z0.不妨取n=(1,3,0),设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ,则AM6sin|cosAM,|||.6|AM|||nnn所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为66.2(1）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，∴AFBC.又三棱柱111ABCABC为直三棱柱，∴面ABC面11BBCC，∴AF面11BBCC，1AFBF.………2分设11ABAA，则11633,,222BFEFBE.∴22211BFEFBE，∴1BFEF.………4分又AFEFF，∴1BF平面AEF.………6分（2）以F为坐标原点，,FAFB分别为,xy轴建立直角坐标系如图，设11ABAA，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222FABE，zyxABCA1B1C1EF5221(,,)222AE，122(,,1)22AB.………8分由（Ⅰ）知，1BF平面AEF，∴可取平面AEF的法向量12(0,,1)2mFB.设平面1BAE的法向量为(,,)nxyz，由12210,0,220,2220222220,022xyznAExyznABxyzxyz∴可取(3,1,22)n.………10分设锐二面角1BAEF的大小为，则222222203(1)12262cos|cos,|6||||20()13(1)(22)2mnmnmn.∴所求锐二面角1BAEF的余弦值为66.………12分3解：（1）2,1,60,oQPAPDPAD2222cos3ADPAPDPAPDPAD，3AD，222PAADPDPDAD，又QPD平面PDA，平面PDAI平面ABCDAD，平面PDA平面ABCD，PD平面ABCDLL6‘（2）QADCD，以,,DADCDP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),(3,1,0)2DPEB1(0,1,),(3,1,0)2uuuruuurDEDB，设平面BDE的一个法向量为(,,)rnxyz，则10230yzxy，令1x，(1,3,23)rn233cos,142uuurrDPn，设直线PD与平面BDE所成的角为，3sin2，直线PD与平面BDE所成的角为60.oLL12‘4【解析】：（1）证明：取PD中点M，连结FMAM,1//,2MFCDMFCD，1//,2AECDAECD//,MFAEMFAE四边形AEFM为平行四边形6所以//,AMEFAM平面PAD//EF平面PAD（2）连结CMAM,，由条件知PDAM，CD平面PADDCDPDAMCD,所以AM平面PCD，ACM就是直线AC与平面PCD所成的角经计算得5,3,2ACCMAM510sinACAMACM5（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD………………………1分所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………2分因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o，所以⊥DA⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=2，故∠PDH=60o……………………………………………………………4分（II）连接CH，则四边形ADCH为矩形，∴AH=DC又AB=2，∴BH=1在Rt△BHC中，∠ABC=45o，∴CH=BH=1，CB=2∴AD=CH=1，AC=2∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…………………………………6分又PA平面ABCD∴PA⊥BC……………………………………7分∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC…………………………………8分（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，∴AP=(0，0，1)，PC=(1，1，-1)…………………………9分设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，则00APPCmm，即00cabc设1a，则1b，∴m=(1，-1，0)…………………10分同理设n=(x，y，z)为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1)…………………………………………………11分∴1110011cos,222mnmnmn所以二面角A-PC-D为60o…………………………………12分7ABFPEDC6（Ⅰ）因为四边形11AACC是边长为4的正方形，所以1AAAC，……1分因为平面ABC平面11AACC且平面ABC平面11AACCAC，……2分所以1AA平面ABC……3分（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以1,,ACABAA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图所示：(图略)则111,,,,,ABCABC点坐标分别为：(0,0,0)A；(0,3,0)B；(4,0,0)C；1(0,0,4)A；1(0,3,4)B；1(4,0,4)C……5分则3(2,,0)2D设平面11CAB的法向量'''(,,)mxyz所以111,mACmAB且，所以'''44030xzy……6分令'1x，所以(1,0,1)m，又易知平面111ABC的法向量为(0,0,1)n……7分所以2cos2||||mnmn所以二面角111CABC的大小为45……8分（Ⅲ）设111(,,)Exyz；平面11AACC的法向量(,,)uxyz．因为点E在线段1AB上，所以假设1AEAB，所以111034xyz(01)即(0,3,4)E，所以3(2,3,4)2DE．……10分又因为平面11AACC的法向量易知(0,3,0)u．而//DE面11AACC，所以0DEu，所以12……11分所以点E是线段1AB的中点．……12分若采用常规方法并且准确，也给分。7证明：（Ⅰ）取PC上的中点H，则//,FHAEFHAE∴//,,AFEHAFPECEHPEC面面∴//AFPEC平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分8（Ⅱ）连接DE，知DEDC所以以D为坐标原点，分别以,DEDCDP，为xyz轴，轴，轴建立坐标系．．．．6分∴3131(0,0,1),(,,0),(,,0),(0,1,0)2222PABC设平面PAB的法向量为=,,)nxy（1则有00nPAnPB3102231022xyxy3=,0,)2n（1．．．．．．．．．．．．．10分则有42sincos14PCnPCn．．．．．．．．．．．．．12分8解：(Ⅰ)证明：方法一：设ACBDOI，取BE中点G，连结OGFG、，则OG∥DE且OG＝12DE，∵DEAF//，AFDE2，∴AF∥OG且AF＝OG，∴AFGO是平行四边形，∴AOFG//.∵FG平面BEF，AO平面BEF，∴//AO平面BEF，即//AC平面BEF.方法二：∵90ADE，∴DEAD∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，平面ABCDI平面ADEFAD，DE平面ADEF，∴DE平面ABCD以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面BEF的一个法向量为(,,)nxyzr，则00nFEnFBruurruur，而(2,0,1)(0,2,1)FEFBuuruur，∴2020xzyz，令1x，则1y，2z，(1,1,2)nr.∵(2,2,0)ACuuur，∴0nACruuur，∴nACruuur，而AC平面BEF，∴//AC平面BEF.(Ⅱ)设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为，由条件知是锐角由(Ⅰ)知平面BEF的法向量为(1,1,2)nr，ABCDFEyxz9又平面ABCD与z轴垂直，所以平面ABCD的法向量可取为1(0,0,1)nur所以11126cos|cos,|||316||||nnnnnnurrurrurr，所以2tan2即为所求.