参数根轨迹

§4-3广义根轨迹一、参数根轨迹为与以开环增益为参量的普通根轨迹相区别，以非开环增益的其他参量为参变量的根轨迹称为反馈系统的参数根轨迹。绘制参数根轨迹的方法与180°和0°根轨迹规则一样，只是把特征方程化为如下形式：01Q(S)(s)P绘制参数根轨迹的一般步骤如下：（1）写出原系统的特征方程；（2）以特征方程式中不含参数的各项去除特征方程，得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的参数即为等效系统的根轨迹增益；（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。例1:已知控制系统的闭环传递函数为，试绘制参数p变化时的根轨迹。44)(2psss解：系统特征方程为，042pss上式和根轨迹方程具有相同的形式，其左边部分相当于某一开环系统传递函数，称为等效系统开环传递函数，参数p称为等效根轨迹增益。利用根轨迹绘制法则，可以绘出当p从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。也可写成142ssp42ssp（1）起点：s1＝2，s2＝-2。（2）终点：s1＝0，s2＝-∞（3）实轴上的根轨迹存在区间(－∞，0（4）会合点：据公式N′(s)D(s)－N(s)D′(s)＝0可解得2s因为s＝＋2不在根轨迹上，所以s＝－2为会合点。（5）复平面上的根轨迹：可以证明根轨迹在复平面上为半圆，方程为2222pp22j2j0j根据以上几点，以p为参变量的根轨迹如下图所示。例2:已知单位反馈系统的开环传递函数为，α的变化范围为[0，∞]，试绘制系统的闭环根轨迹。)1()(41)(2ssssGK解：系统闭环特征方程为，04141)(23ssssD也可写成04141123sss等效开环传递函数为，21)21()(ssKsG41K，变化范围为[0，＋∞]按照绘制常规根轨迹的基本原则确定根轨迹的各项参数：（1）终点：无开环有限零点。（2）起点：p1＝0，p2＝p3＝－（3）实轴上的根轨迹存在区间(－∞，021（4）根轨迹有三条渐近线（5）根轨迹的分离点：据公式N′(s)D(s)－N(s)D′(s)＝0可解得120,180,60,3161,2121ss（6）根轨迹与虚轴的交点。根据闭环特征方程列写Routh表如下44141411123sss当α＝1时，Routh表的s1行元素全为零，辅助方程为041)(2ssA解得212,1js作系统参数根轨迹如下图所示。21612121j0)0,1,2,(2180-)p(s-)z(sG(s)H(s)K1)()(|G(s)H(s)|1G(S)H(S)0G(S)H(S)-1n1jm1in1jm1i11相角条件幅值条件分别为故幅值条件和相角条件对于正反馈系统jijinjjmiipszs二、零度根轨迹零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。（1（2）实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环零点和极点个数之和为偶数。（3（4）根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨迹。倾角的计算公式为（5）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为（62,1,0m-n2180njjmiirnjjmii111111C（1）起点：s1＝0，s2＝-1，s3＝-5（2）终点：（3）实轴上根轨迹存在的区间为[-5,-1],(0,+∞)（4）计算分离点：N(s)＝1，D(s)＝s(s＋1)(s＋5)代入计算公式解得s1＝－3.52s2＝－0.48由于－0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为－3.52（5）根轨迹的渐近线①倾角②交点根据以上几点，可绘出系统的零度根轨迹如下图所示。例3：设单位正反馈系统的开环传递函数为,5)1)(ss(sK(s)GK解：绘制步骤如下：120,120,0m-n21802030510-11amnzpnjmiij-2Zj--1pj,-1p-3,p1m3,n)1(1321开环零点开环极点.01)222)(3(2)k(sG(s)H(s)0)()(1,:根轨迹的规则来绘制因此需按这样根轨迹方程为则有因给定系统为正反馈解ssssHsG例4：设某正反馈系统的开环传函为试绘制该系统的根轨迹图，确定临界增益KC。)22)(3()2()()(2ssssKsHsG180,0(2)aaσφ无需计算渐近线3K03KRouth6.716.71(4)-0.8s02236s21s4s0(s)DN(s)-(s)D(s)N(3)Cp3p223＝判据可求得由临界增益出射角得由公式根轨迹与实轴交点θθ-3-2-1p2p3k1p1Kc=3:.)164(3)2S-k(-SG(S)H(S).)(S::.22解图试绘制该系统的根轨迹开环传递函数为设某非最小相位系统的例零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统迹非最小相位系统的根轨三SSSS3.07k,3.140k0,3.53.53.6021Z-3Z3j2-2P0P1)164(3)-2Sk(S:1)164(3)2S-k(-S3,21P3P2a21212222mnlSSSSSS标准化处理为-1)()(0)()(12.)()(1)(R(S)C(S):)()((S)X(S)X)-(tX(t)X.,,)()(:1..11121212SSSsSSeSHSGeSHSGeSHSGeSGeSXeSXtXtX根轨迹方程为特征方程为时滞系统的根轨迹为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统为时滞这种环节称为时滞环节滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节时滞系统时滞系统的根轨迹四X2(t)X1(t)C(S)G(S)H(S)R(S)-se180-1:.G(S)H(S).3.57360180)P-(S-)Z-(S)(3.57)(eee360180e)P-(S-)Z-(S)j(S1e1ke1m1n1iis-j)j(-s-m1n1s-ii-s-11根轨迹绘制故按根轨迹方程为解迹草图试绘制时滞系统的根轨开环传函为设某负反馈时滞系统的例故有相角条件幅值条件SSkeiiiiPSZSksiniimiiradeeiττωτωτωτωστωττσωσττττσ分支复平面内的完整根轨迹按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，／在虚轴０－即满足便是满足相角条件的点两直线的交点直线的角为做一条与实轴正方向夹过开环极点做实轴的平行线并过点在虚轴上选一点相角条件的点现在在复平面寻找满足则相角条件写成令复平面上的根轨迹根轨迹的相角条件相同故与绘制所以相角条件变为在实轴上由于实轴上的根轨迹c.3.57180)1(,,3.571801b.),0(,,a.jS57.318057.31801)(s57.31801)(s-:,0)2(180i3601801S-,0)1(1111111111jjSPji.645.0,1][1)(sarctg,(4))/-(10][/,-s)(limlimlim)3(''1''js'''1dsd-s)1()(-s1-s'图由此绘制出主根轨迹如解得时则坐标设根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点分离点坐标为根轨迹趋向与直线时当环极点也是给定系统的一个开由于实轴的根轨迹arctgarctgKeKsesssKesKeSdsdSdsdS''-1i=0i=0i=1i=1K00jω主根轨迹图πjπ2jπjπ2j