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上海市长宁(嘉定金山)区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.已知集合{1,2,3,4,5}A,{2,4,6,8}B,则ABI2.方程23x的解为3.行列式2112的值为4.计算2lim1nnn5.若圆锥的侧面面积为2,底面面积为,则该圆锥的母线长为6.已知向量13(,)22ABuuur,31(,)22ACuuur,则BAC7.2位女生3位男生排成一排,则2位女生不相邻的排法共有种8.已知点(2,)y在角终边上,且tan22,则sin9.近年来,人们支付方式发生巨大转变,使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯,某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况,从全体员工中随机抽取了100人,统计了他们在某个月的消费支出情况,发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人;使用了A、B两种方式支付的员工,支付金额和相应人数分布如下:支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据估算:若从该公司随机抽取1名员工,则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为10.已知非零向量ar、br、cr两两不平行,且ar∥()bcrr,br∥()acrr,设cxaybrrr,,xyR,则2xy11.已知数列{}na满足:11a,112{,,,}nnnaaaaa(*nN),记数列{}na的前n项和为nS,若对所有满足条件的{}na,10S的最大值为M,最小值为m,则Mm12.已知函数1()||fxxax,若对任意实数a,关于x的不等式()fxm在区间1[,3]2上总有解,则实数m的取值范围为二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.已知xR,则“0x”是“1x”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.下列函数中,值域为(0,)的是()A.2xyB.12yxC.lnyxD.cosyx15.已知正方体1111ABCDABCD,点P是棱1CC的中点,设直线AB为a,直线11AD为b,对于下列两个命题:①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交;②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角,以下判断正确的是()A.①为真命题,②为真命题B.①为真命题,②为假命题C.①为假命题,②为真命题D.①为假命题,②为假命题16.某港口某天0时至24时的水深y(米)随时间x(时)变化曲线近似满足如下函数模型:0.5sin()3.24(06)yx,若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为()A.16时B.17时C.18时D.19时三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.如图,底面为矩形的直棱柱1111ABCDABCD满足:14AA,3AD,2CD.(1)求直线1AC与平面11AADD所成的角的大小;(2)设M、N分别为棱1BB、CD上的动点,求证:三棱锥1NAAM的体积V为定值,并求出该值.ABCD1A1B1C1DPABCD1A1B1C1DMN18.在复平面内复数1z、2z所对应的点为1Z、2Z,O为坐标原点,i是虚数单位.(1)112iz,234iz,计算12zz与12OZOZuuuruuur;(2)设1izab,2izcd(,,,abcdR),求证:2121||||OZOZzzuuuruuur,并指出向量1OZuuur、2OZuuur满足什么条件时该不等式取等号.19.如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,如图,其中4AB百米,3BC百米,现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花,其中点M在BC边上,点N在AB边上,要求4MDN.(1)若2ANCM百米,判断△DMN是否符合要求,并说明理由;(2)设CDM,写出△DMN面积的S关于的表达式,并求S的最小值.20.已知数列{}na各项均为正数,nS为其前n项的和,且na、nS、2na(*nN)成等差数列.(1)写出1a、2a、3a的值,并猜想数列{}na的通项公式na;(2)证明(1)中的猜想;(3)设1nnbta(0t),nT为数列{}nb的前n项和,若对于任意*nN,都有*{|}nmTbmN,求实数t的值.ABCDMN21.已知函数()||fxxxa,其中a为常数.(1)当1a时,解不等式()2fx;(2)已知()gx是以2为周期的偶函数,且当01x时,有()()gxfx,若0a,且35()24g,求函数()ygx([1,2]x)的反函数;(3)若在[0,2]上存在n个不同的点ix(1,2,,in,3n),12nxxxL,使得12231|()()||()()||()()|8nnfxfxfxfxfxfx,求实数a的取值范围.参考答案一.填空题1.{2,4}2.2log3x3.54.25.26.67.728.2239.31010.311.107812.2(,]3二.选择题13.B14.A15.B16.D三.解答题17.解:(1)由直棱柱知1AAABCD,所以1AACD又因为ADCD,所以直线CD平面11AADD,……………2分所以1CAD即直线1AC与平面11AADD的所成角……………4分由题意15AD,2CD,所以2tan5所以直线1AC与平面11AADD的所成角2arctan5.……………6分(2)记点N到平面1AAM的距离为d,三角形1AAM的面积为1AAMS,则1113NAAMAAMVVdS,………………3分由已知3d,14AAMS,………………6分所以4V为定值.………………8分18.解:(1)121234112zziii……………3分11,2OZ,23,4OZ所以125OZOZ……………6分证明(2)1,OZab,2,OZcd12OZOZabcd,2212OZOZabcd……………3分22212zzacbdadbc22212120zzOZOZabcd所以1212OZOZzz……………6分当abcd时取“=”,此时12//OZOZ.……………8分19.解:(1)由题意5MN,13DN,25DN,…………3分所以1320572cos22251365MDN所以4MDN,DMN不符合要求……………6分(2)CDM,=4ADN,所以3cosDM,4cos()4DN132sin24coscos()4SDNDM,…………3分2coscos()coscossin4221212sin2cos21sin(2)424424所以1221S,S的最小值为1221.…………8分20.(1)解:由已知22nnnaaS,…………1分所以11a,22a,33a,…………3分猜想nan…………4分证明(2)当2n时,22nnnaaS,21112nnnaaS所以2211122nnnnnnnaaaaaSS得1110nnnnaaaa,…………3分因为*0nanN,所以11nnaa数列na为等差数列,又由(1)11a,22a所以*nannN…………6分(3)解:由(2)知1mbmt,12nnnTtn.若mnbT,则112nnnmt,因为,mn都是整数,所以对于任意*nN,1nt都是整数,进而1t是整数所以1,tkZk,此时112nnmkn,………2分设2mbT,则30mk,所以1k或2………4分①当1k时,对于任意*nN,*112nnmN②当2k时,对于任意*nN,*322nnmN所以实数t取值的集合为1{,1}2………6分21.解:(1)解不等式12xx当1x时,220xx,所以12x当1x时,220xx,所以1x,综上,该不等式的解集为,2………4分(每行1分)(2)当01x时,gxxxa,因为gx是以2为周期的偶函数,所以31111()()()22222ggga,由35()24g,且0a,得2a,………2分所以当01x时,(2)gxxx所以当12x时,2240,3gxgxgxxx………4分所以函数1,2ygxx的反函数为310,3yxx………6分(3)①当0a时,在0,2上fxxxa,是0,2上的增函数,所以1223112nnnfxfxfxfxfxfxfxfxf所以2228fa,得2a;………2分②当4a时,在0,2上fxxax,是0,2上的增函数,所以1223112nnnfxfxfxfxfxfxfxfxf所以2228fa,得6a;………4分③当04a时,fx在0,2上不单调,所以12231max2nnfxfxfxfxfxfxfx2()424aaf,2224fa,在0,2上,maxmax{(),2}42afxff.12231max28nnfxfxfxfxfxfxfx,不满足.综上,a的取值范围为,26,.………8分③当42a时,则221a,所以)(xf在]2,0[a上单调递增,在]2,2[a上单调递减,于是)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf242)0()2(2)(222maxaafafxf令822a,解得4a或4a,不符合题意;④当20a时,)(xf分别在]2,0[a、]2,[a上单调递增,在],2[aa上单调递减,)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222aaaafafafffaf令84222aa,解得322a或322a,不符合题意.综上,所求实数a的取值范围为,26,
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