第3节-二维正态分布

1第三节2定义若二维随机向量(X,Y)具有概率密度记作.),,,,(~),(222121NYX则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布.,,,,21211||,0,021其中均为常数,且,,,,2121),(yxf2211212222212121212)(2))((2)()1(21eyyxx3可以证明,若),,,,,(~),(222121NYX则,),(~211NX.),(~222NY这就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数.因此可以断定参数描述了X与Y之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系:4解例1设随机变量X和Y的联合概率密度为}8822{exp),(22yyxCyx试求常数C和各参数的值．),(yxf2211212222212121212)(2))((2)()1(21eyyxx;41)2(4121exp),(22yxCyx,041,241,0222211，，5解}8822{exp),(22yyxCyx试求常数C和各参数的值．;41)2(4121exp),(22yxCyx,041,241,0222211，，.21π21221C例1设随机变量X和Y的联合概率密度为6),(yxf2211212222212121212)(2))((2)()1(21eyyxx可以证明，,),,,,(~),(222121NYX若则其中的参数即为X、Y的相关系数，证明略.若=0，则有])()([212122222121e21),(yxyxf,e21e21222221212)(22)(1yx7,)()(),(yfxfyxfYX前面说明,若),,,,,(~),(222121NYX则,),(~211NX.),(~222NY所以=0时，有即若X与Y不相关性，则X与Y必独立.所以在正态分布的场合,独立性与不相关性是等价的.222221212)(22)(1e21e21),(yxyxf8),4,0()3,1(22NNYX和分别服从正态分布与已知相互独立，与，知由YXXY0例2解.),(,0的联合密度求若YXXY)()(),(yfxfyxfYX的联合密度为所以),(YX22224232)1(e241e231yx.e2413218)1(22yx9例3解由题意知,所以(X,Y)的协方差矩阵为)(YXD,),(Cov2)()(YXYDXD设随机变量X与Y都服从标准正态分布)1,0(N，并且0)(YXD，求二维随机向量),(YX的协方差矩阵.,1DYDX,0)(YXD而得,1),cov(YX.1111V10练习：P114习题三