高中必修一数学试题及答案

第1页（共16页）2015-2016学年清华附中高一（下）期末数学试卷及答案一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（∁UA）∪B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26B．40C．54D．804．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（）A．10B．C．D．+25．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知平面向量，满足||==2，（+2）•（﹣）=﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．0或D．或8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是______．10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于______．第2页（共16页）11．设函数，则实数a的取值范围是______．12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值______．14．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为______．三、解答题.15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．20．设集合S={x|x=，k∈N*}．第3页（共16页）（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，求证：n≤15．第4页（共16页）2015-2016学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（∁UA）∪B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁UA={2}，∴（∁UA）∪B={2，4}．故选：D．2．x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可．【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26B．40C．54D．80【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，求得数列的首项与公比，即可求和．【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，∴=﹣3，=﹣2∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40故选B．4．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（）A．10B．C．D．+2【考点】等差数列的前n项和．第5页（共16页）【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．a1=d=1，∴==1++=≥+=，当且仅当，即n=4时，取最小值．故选：B．5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．6．已知平面向量，满足||==2，（+2）•（﹣）=﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出的值，进而便可得出向量的夹角．【解答】解：；第6页（共16页）∴===﹣6；∴；∵；∴．故选：C．7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．0或D．或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．【解答】解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0可得a=，故a的值为0，或，故选C第7页（共16页）8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣（a+1）||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出．【解答】解：∵=，∴=第8页（共16页）==．故答案为：．10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于26．【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，∴6a4+6a10=24，∴2a7=4，即a7=2．则此数列的前13项之和S13==13a7=26．故答案为：26．11．设函数，则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值．【解答】解：正数a，b满足a+b=10，令y=+，则y2=a+2+b+3+2，∵a+b=10，∴15=a+2+b+3≥2（当a+2=b+3时等号成立），∴y2≤30，∴+的最大值为．故答案为：．第9页（共16页）13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+ex，则g′（x）=﹣1+ex，令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：114．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•=0，则，即，求得正数ω的所有取值的集合为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．故答案为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．第10页（共16页）三、解答题.15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比