极坐标、参数方程总复习选修4-4

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应P/(x/,y/).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,01)2(032)1(32{222yxyxyyxx、、后的图形。换对应的图形经过伸缩变，求下列方程所、在平面直角坐标系中例2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为x’2－9y’2=1，求曲线C的方程并画出图形。x’=3xy’=yx/=1/3x,y/=1/2yx2-y2=1/9二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…直角坐标系中的点与坐标之间有什么对应关系如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.我们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.（1）在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以是任意的正角或负角（2）当＜0时，点M位于极角终边的反向延长线上，且OM=。的扩充（，）（3）M也可以表示为（，）))12(,()2,(kk或3、负极径的规定例3.设点A（2，∏/3），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l,极点的对称点的极坐标（限定0.-∏≦∏)结论：(1)点（，）关于极轴的对称点是（，-）.(2)关于直线的对称点是（，∏-）.(3)关于极点O的对称点是（，∏+）。2对称性极坐标与直角坐标的互化关系式（一）设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ)0(tan,222xxyyx互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.直角坐标系与极坐标系变换公式(二）在直角坐标系中，以（x0,y0)为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系。则有：x=x0+ρcosθy=y0+ρsinθ或ρ2=（x-x0)2+(y-y0)2tanθ=y-y0x-x0二、极坐标系中点的对称性1、ρ(θ)=ρ（-θ）图形关于极轴对称2、ρ(θ)=ρ（Л-θ）图形关于射线θ=Л/2所在的直线对称3、ρ(θ)=ρ（Л+θ）图形关于极点O对称。（三）求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6或（－6，－+π）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。54易得5(0)4思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。4544或例题2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点(,)M为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有RtMOAcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。练习：设点A的极坐标为，直线过点A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。(,0)all解：如图，设点(,)M为直线上异于的点Al连接OM，﹚oMxA在中有MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程。例题3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11解：如图，设点(,)M点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知,OMxOM1OP1xOP设直线L与极轴交于点A。则在MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是它的解。小结：直线的几种极坐标方程1、过极点ρ=θ(ρ∈R)2、过某个定点，且垂直于极轴ρcosθ=a4、过某个定点，且与极轴成一定的角度3.过定点与极轴平行ρsinθ=a（二）曲线的极坐标方程定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。求下列圆的极坐标方程(１)圆心在极点，半径为r；(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)圆心在(a,/2)，半径为a；(４)圆心在Ｃ(a,０)，半径为a＝r＝2acos＝2asin圆心的极径与圆的半径相等0cos()a＝２222223020xyxyxyxyx（１）直角坐标方程的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（２）直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（３）直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（４）直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿例２：＿＿＿＿＿cos3sin0２－２cossin10２3cos353co3s5sin已知一个圆的方程是＝求圆心坐标例：和半径。5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为－＝得两边同乘以＝解：yxyxyx设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示.xyzoP(ρ,θ,Z)Qθ把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).其中ρ≥0,0≤θ＜2π,-∞＜Z＜+∞柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为zzyxsincosxyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q，设P在oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.(r,φ,θ)我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中20,0,0rxyzoP(r,φ,θ)Qθrφ空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为cossinsincossinrzryrxxyzoP(r,φ,θ)QθrφP(x,y,z)xyzxyzoP(ρ,θ,Z)QθxyzoP(r,φ,θ)Qθrφ一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。)2.....(....................)()({tgytfx2.、参数方程注：x,y的范围由t确定参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程参数方程与普通方程的互化1、准确把握曲线参数方程中的参数的意义及取值范围。2、参数方程化普通方程的技巧：（1）代入消去发。（2)加减消去法。（3）恒等式法：cos2θ+sin2θ=1、1+tan2θ=sec2θ、1+cot2θ=csc2θ、等3、普通方程化参数方程要恰当设参数。步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围）参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：)(211{12为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2sin1cossin{2yx）、（)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttxyxo(1,-1)这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把].2,2[,],2,2[),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyxxoy22练习4与普通方程xy=1表示相同的参数方程（t为参数）的是（）Ax=t2y=t-2Bx=sinty=csctCx=costy=sectDx=tanty=cott练习5若曲线x=1+cos2θy=sin2θ(θ为参数），则点（x,y)的轨迹是（）A、直线x+2y-2=0B.以（2,0）为端点的射线C.圆（x-1)2+y2=1D、以（2,0）和（0,1）为端点的线段D什么特点？）该参数方程形式上有（的取值范围是什么？）参数（？些是变量？哪些是常量）直线的参数方程中哪注：（321t标准方程一般方程x=x0+lty=y0+mtl的方向向量a=(l,m)(1)写出过点（2,1），倾斜角为2π/3的直线的参数方程。（2）写出过点（-1，3），倾斜角为arctan2的直线的参数方程。(3)直线x=-2+tcos30y=3-tsin60(t为参数）的倾斜角θ等于（）A.30B.60C.-45D.135D(4)把x=5+3ty=10-4t化成标准方程的形式。.00000tMMteMMteMMMMttt重合时，与取负数；当点异向时，与数；当取正同向时，与的距离。当到定点对应的点表示参数的几何意义是：直线的参数方程中参数例1、已知直线l过点M0(1,5),倾斜角为π/3，且交直线x-y-2=0于M点，则MM0=三、例题讲解136tMM0的应用直线上两点间的距离三、例题讲解例2、已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点。(1)求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.(2)求AB中点的坐标。的参数方程？）如何写出直线（l1①?221ttBA，所对应的参数，）如何求出交点（①2,22121tttt有什么关系？，与、）（213ttMBMAAB（4）AB的中点的参数t和t1,t2有什么关系？221ttt21ttAB21,tMBtMA直线l与曲线相交于M1,M2两点其对应的参数分别为t1,t2,则有（1）曲线的弦长2121ttMM