大学物理电子教案之波动

1/14第10章波动振动的传播过程称为波动。波动是一种常见的物质运动形式，如空气中的声波，水面的涟漪等，这些是机械振动在媒质中的传播，称为机械波。波动并不限于机械波，太阳的热辐射，各种波段的无线电波，光波、x射线、γ射线等也是一种波动，这类波是周期性变化的电场和磁场在空间的传播，称为电磁波。近代物理的理论揭示，微观粒子乃至任何物质都具有波动性，这种波称为物质波。以上种种波动过程，它们产生的机制、物理本质不尽相同，但是它们却有着共同的波动规律，即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，并且有着共同的数学表达式。10.1机械波的几个概念10.1.1机械波的形成形成机械波必需有振源和传播振动的媒质。引起波动的初始振动物称为振源。振动赖以传播的媒介物则称为媒质。在弹性媒质中，各质点间是以弹性力互相联系着的。整个媒质在宏观上呈连续状态。当某质元A受外界扰动而偏离原来的平衡位置，其周围的质元就将对它作用一个弹性力以对抗这一扰动，使该质元回复到原来的平衡位置，并在平衡位置附近作振动。弹性力与位移之间的关系满足胡克定律。与此同时，当A偏离其平衡位置时，A点周围的质元也受到A所作用的弹性力，于是周围的质元也离开各自的平衡位置，并使周围质元对与其邻接的外围质元作用弹性力，从而由近及远地使周围质元、外围质元以及更外围质元，都在弹性力的作用下陆续振动起来。就是说，介质中一个质元的振动引起邻近质元的振动，邻近质元的振动又引起较远质元的振动，于是振动就以一定的速度由近及远地向外传播出去而形成波。应当注意，波动只是振动状态的传播，介质中各质元并不随波前进，各质元只以周期性变化的振动速度在各自的平衡位置附近振动。振动状态的传播速度称为波速。它与质元的振动速度是不同的，不要把两者混淆起来。10.1.2横波与纵波机械波可分为横波与纵波两大类。质元的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横本章要点：1.波动的基本概念及机械波传播的物理本质2.描写波动的物理量极其关系3.平面简谐波的波动方程4.波的能量5.惠更斯原理6.波的干涉2/14波，如绳中传播的波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。质元的振动方向和波的传播方向一致的波称为纵波，如空气中传播的声波。纵波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的区域。尽管这两种波具有不同的特点，但其波动过程的本质却是一致的。故我们以横波为例，分析机械波的形成与传播。如图10-1所示，绳的一端固定，另一端握在手中并不停地上下抖动，使手拉的一端作垂直于绳索的振动，我们可以看到一个接一个的波形沿着绳索向固定端传播形成绳索上的横波。现以1、2、3、4……对质元进行编号。以质元1的平衡位置为坐标原点O，向上为Y轴的正向，质元依次排列的方向为X轴的正向。设在某一时刻t=0，质元1受扰动得到一向上的速度vm而开始作振幅为A的简谐振动。由于质元间弹性力的作用，在t=0以后相继的几个特定时刻，绳中各质元的位置将有如图10-1所示的排列。t1=0时刻，质元1的振动状态为：位置y1=0，速度v1=vm，相应的相位为（ωt1+φ）=32π。t2=4T时刻，质元1的振动状态为：位置y2=A，速度v2=0，相应的相位为（ωt2+φ）=2。质元1在t1=0时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为32π。t3=2T时刻，质元1的振动状态为：y3=0，v3=－vm，相应的相位为（ωt3+φ）=22ππ。质元1在t1=0时刻的振动状态已传至质元7，质元7的振动相位为32π，质元1在t2=4T时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为2。t4=34T时刻，质元1的振动状态为：y4=－A，v4=0，相应的相位为（ωt4+φ）=2ππ。质元1在t1=0时刻的振动状态已传至质元10，质元10的振动相位为32π，质元1在t2=4T时刻的振动状态已传至质元7，质元7的振动相位为2，质元1在t3=2T时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为22ππ。当t5=T时，质元1完成一次全振动回到起始的振动状态，而它所经历过的各个振动状态均传至相应的质元。如果振源持续振动，振动过程便不断地在绳索上向前传播。3/1410.1.3波长波的周期和频率波速波长、波的周期（或频率）和波速是描述波动的三个重要物理量。在同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质元之间的距离（即一个“波”的长度），叫做波长，用λ表示。显然，横波上相邻两个波峰之间的距离，或相邻两个波谷之间的距离，都是一个波长；纵波上相邻两个密部或相邻两个疏部对应点之间的距离，也是一个波长。波的周期，是波前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示。周期的倒数叫做波的频率，用υ表示，即υ=1/T，频率等于单位时间内波动传播距离中完整波的数目。由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离，所以波的周期（或频率）等于波源的振动周期（或频率）。在波动过程中，某一振动状态（即振动相位）在单位时间内所传播的距离叫做波速，用v表示。故波速也称为相速。波速的大小取决于介质的性质，在不同的介质中，波速是不同的，例如，在标准状态下，声波在空气中传播的速度为331m·s-1，而在氢气中传播的速度是1263m·s-1。在一个周期内，波前进一个波长的距离，故有λvT或vλυ（10-1）以上两式具有普遍的意义，对各类波都适用。必须指出，波速与介质有关，而波的频率是波源振动的频率，与介质无关。因此，由式（10-1）可知，同一频率的波，其波长将随介质的不同而不同。例10-1在室温下，已知空气中的声速v1为340m·s-1，水中的声速v2为1450m·s-1，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和在水中的波长各为多少？解由式（10-1）可得vλυ频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中的波长各为1113401.7200vλmυ1223400.172000vλmυ频率为200Hz和2000Hz的声波在水中的波长各为11214507.25200vλmυ22214500.7252000vλmυ可见，同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长要长得多。可以证明，固体内横波和纵波的传播速度v分别为Gvρ（横波）Yvρ（纵波）式中G、Y和ρ分别为固体的切变弹性模量、杨氏弹性模量和密度。4/14在液体和气体内，纵波的传播速度为Bvρ（纵波）式中B为容变弹性模量。以上各式说明，机械波的波速决定于介质的性质，而与振源无关。关于介质的切变弹性模量G、杨氏弹性模量Y和容变弹性模量B这里就不作介绍了。10.2平面简谐波10.2.1平面简谐波的表达式一般地说，介质中各个质元的振动情况是很复杂的，由此所产生的波动也很复杂，本节只讨论一种最简单最基本的波，即在均匀、无吸收的介质中，当波源作谐振动时，波所经历的所有质元都按余弦（或正弦）规律振动，则在此介质中所形成的波，称为简谐波。可以证明，任何复杂的波都可以看成是由若干频率不同的简谐波叠加而成的。因此，讨论简谐波具有特别重要的意义。1.波振面和波射线下面先介绍描述波动传播时常用的几个概念我们把在波动过程中，振动相位相同的点连成的面称为波阵面或波面，有时又把波面中最前面的那个波面称为波前。由于波阵面上各点的相位相同，所以波阵面是同相面。我们把波阵面是平面的波动称为平面波，波阵面是球面的波动称为球面波。如图10-2。波的传播方向称为波线或波射线。在各向同性的介质中，波线总是与波阵面垂直，平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心从中心向外的径向直线。关于波阵面推进的规律，我们在讨论惠更斯原理时再作介绍。2.平面简谐波动方程现在我们来定量描述前进中的波动，亦即要用数学函数式描述介质中各质元的位移是怎样随着时间而变化的。这样的函数式称为波动方程。对于平面波而言，在所有的波线上，振动传播的情况都是相同的，因此可将平面简谐波简化为一维简谐波来进行研究。设有一平面简谐波沿某一方向向前传播，任取一条波线，在这条波线上，任取一质元的平衡位置作为坐标原点O，波线的方向为X轴正方向，质元向上振动的方向为Y轴的正方5/14向，如图10-3所示。选择某一时刻作为起始时刻，O点处（即x=0处）质元的振动方程可表示为y0=Acos（ωt+φ）假定介质是均匀无限大、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变。为了找出在OX轴上任一质元在任一时刻的位移，我们在OX轴正向上任取一平衡位置在x处的质元，显然，当振动从点O传至该处，该质元将以相同的振幅和频率重复点O的振动。因为振动从点O传播到该点的时间为xtu，这表明当点O振动了t时间，x处的该点只振动了xtttu（）的时间，即该点的相位落后ω（t－x/u），于是x处的点在时刻t的位移为cos[]xyAωtφu（）（10-2）这就是沿X轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。若平面简谐波是沿X轴负向传播，与原点O处质元的振动方程y0=Acos（ωt+φ）相比，X轴上任一点x处质元的振动方程为cos[]xyAωtφu（）（10-2）＇利用关系式22πωπυT和uT=λ，可以将平面简谐波的波动方程改写成多种形式：cos[2]txyAπφTλ（）（10-2a）cos[2]xyAπνtφλ（）（10-2b）cos2xyAωtπφλ（）（10-2c）如果改变计时起点，使原点O处质元振动的初相位为零（φ=0），则x处的振动规律是cosxyAωtu（）cos2txyAπTλ（）cos2xyAπνtλ（）cos2xyAωtπλ（）式（10-2）到（10-2c）为平面简谐波动方程的几种不同表示形式，都是标准式。纵波的平面简谐波动方程具有同样的形式。这时质元的振动方向和波动的传播方向一致。应注意的是，y仍然表示质元的位移，x依旧表示波动传播方向上某质元在平衡位置时的坐标。例10-2已知波动方程y=5cosπ（2.50t－0.01x）cm。求波长、周期和波速。解方法一（比较系数法）由波动方程y=5cosπ（2.50t－0.01x）可写成6/142.500.015cos222yπtx（）与标准波动方程cos2txyAπTλ（）相比较，有1220.82002502.50.01λTsλcmucmsT，，方法二（由各物理量的定义解）（1）波长是指同一时刻t，波线上相位差为2π的两点间的距离，即π（2.50t－0.01x1）－π（2.50t－0.01x2）=2π得λ=x2－x1=200cm（2）周期为相位传播一个波长所需的时间（T=t2－t1），即时刻t1点x1的相位在时刻t2=t1+T传至点x2处，则有π（2.50t1－0.01x1）=π（2.50t2－0.01x2）得T=t2－t1=0.8s（3）波速为振动状态（相位）传播的速度，即时刻t1点x1的相位在时刻t2传至点x2处，得11122250xxucmstt例10-3一横波沿绳子传播时的波动方程为y=0.05cos（10πt－4πx），式中x、y以米计，t以秒计。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长；（2）求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；（3）求x1=0.2m处的质点，在t1=1s时的相位，这一相位所代表的运动状态如何？（4）此相位所代表的运动状态在t2=1.5s时刻到达哪一点？解（1）一般所用的方法是将给定的方程和标准的波动方程cosxyAωtu（）cos2xAπνtλ（）相比较，从而求出各参量。现在y=0.05cos（10πt－4πx）=0.05cos100.05cos252.50.5xxπtπt（）（）所以，此波向X轴正方向传播，而A=0.05m，u=2.5m·s-1，υ=5Hz，λ=0.5m（2）平衡位置在x处的质元在任意时刻的速度和加速度分别为sindyxvAωωtdtu（）2cosdvxaAωωtdtu（）由给定的方程和标准的波动方程相比较，还有ω=10πrad·s-1故，各质点振动时的最大速度和最大加速度vm=Aω=0.05×1