06-电路定理

1第6讲电路定理•叠加定理•替代定理•戴维南定理和诺顿定理•互易定理叠加定理在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。6.1叠加定理(SuperpositionTheorem)单独作用：一个电源作用，其余电源不作用不作用的电压源（us=0)电流源(is=0)短路开路例子：求各支路电流。用回路法：(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2-R2ia+(R2+R3)ib=us2-us3R1uS1R2uS2R3uS3i1i2i3+–+–+–iaib⎩⎨⎧++=++=3Sb32Sb21Sb1b3Sa32Sa21Sa1auKuKuKiuKuKuKi解得各支路电流为⎪⎩⎪⎨⎧++=++==++=++=−=++=++=='''3''3'33S332S321S31b3'''2''2'23S232S221S21ba2'''1''1'13S132S121S11a1iiiuKuKuKiiiiiuKuKuKiiiiiiuKuKuKii上述解答可按下列方法得到：即各个独立源分别作用于电路。三个电源共同作用==us1单独作用+us2单独作用++us3单独作用+R1us1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007总电流为i1=i1'+i1+i1'i3=i3'+i3+i3'i2=i2'+i2+i2'一般情况：线性电路中有m个独立源(激励)e1,e2,…,em,则电路中的响应rj(电压u或电流i)为)2,1,(2211=+++=jeKeKeKrmjmjjj例1.求图中电压u。+–10V4A6Ω+–4Ωu解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路4A6Ω+–4Ωu''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u=-4×2.4=-9.6V共同作用：u=u'+u=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6Ω+–4Ωu'2例2求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:+–10V6ΩI14A+–Us+–10I14Ω10V+–6ΩI1'+–10I1'4Ω+–Us'6ΩI1''4A+–Us''+–10I1''4Ω+–U1'+–U1Us'=-10I1'+U1'Us=-10I1+U1”Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=-10×1+4×1=-6VUs=-10I1+U1”=-10×(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us=-6+25.6=19.6V10V+–6ΩI1'+–10I1'4Ω+–Us'+–U1'6ΩI1''4A+–Us''+–10I1''4Ω+–U1AI146101=+=′AI6.146441−=×+−=′′VU6.9464641=×+×=′′PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,20071.叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不能用叠加定理求功率；不适用于非线性电路。2.应用时电路的结构参数必须前后一致。应用叠加定理时注意以下几点：5.叠加时注意在同一参考方向下求代数和。3.不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。4.含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。u=u1+u2i=i1+i222112121))((iuiuiiuuui+≠++=PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007齐性原理（HomogeneityProperty):线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流)与激励成正比。RusrRkuskrPrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007例3.解:采用倒推法：则求电流i。RL=2ΩR1=1Ω，R2=1Ωus=51VA5.113451'''ss'ss=×===iuuiuuii即R1R1R1R2R2RL+–usiR2+–2V2A5A13A3A8A21A+–3V+–8V+–21V+–us'=34Vi'=1A设i'=1A，推出此时us'=34V。其它解法：分压、分流；电源变换。PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007可加性(additivityproperty)Re1r1Re2r2Rk1e1k1r1Rk2e2k2r2e1e2rRke1ke2krR线性(1)(2)(3)r1+r2e1+e2Rk1r1+k2r2Rk1e1+k2e236.2替代定理(SubstitutionTheorem)任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。Aik+–uk支路kA+–ukikA证明:ukukAik+–uk支路k+–+–ACBAik+–uk支路kABAC等电位+–ukAik+–ukAB说明1.替代定理适用于线性、非线性电路、非时变和时变电路。2)被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。1)原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.5A??2.应用替代定理必须满足的条件:1.5A1A10V5V2Ω5Ω10V5V2Ω5V2.5AA1A1ΩB1V+-1V+-A1AB1AA1AB1V+_满足+-?不满足PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007替代与等效的区别：电路的等效变换与外电路没有关系；替代支路仅在当前工作点上与替代前的支路是等效的。+–10VR+–8Ωu8Ω+–10VR+–4Ωu等效R=6Ω，替代+–10V+–4V6ΩR=4Ω，替代+–10V+–5V4Ω名词介绍端口(port)含源(active)一端口6.3戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-NortonTheorem)Nabii无源(passive)一端口PabiiAabiiPI+_U等效R=U/IAabii等效?戴维南定理任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效电阻。AababRiUo+-4证明:(a)(b)(对a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。（用叠加定理）=+根据叠加定理，可得电流源i为零网络A中独立源全部置零abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–RiabAi+–uabA+–u'abPi+–u''Riu'=Uoc(外电路开路时a、b间开路电压)u=-Rii则u=u'+u=Uoc-Rii此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！例1.(1)计算Rx分别为1.2Ω、5.2Ω时的I；(2)Rx为何值时，其上获昀大功率?IRxab+–10V4Ω6Ω6Ω4Ω解：保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：ab+–10V4Ω6Ω6Ω–+U24Ω+–U1IRxIabUoc+–RxRi(1)求开路电压Uoc=U1+U2=-10×4/(4+6)+10×6/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V4Ω6Ω6Ω–+U24Ω+–U1+-Uoc(2)求等效电阻RiRi=4//6+6//4=4.8Ω(3)Rx=1.2Ω时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.333ARx=5.2Ω时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.2ARx=Ri=4.8Ω时，其上获昀大功率。IabUoc+–RxRiRiab4Ω6Ω6Ω4ΩPrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007例2外电路含有非线性元件J-100V40V200V30K10K60K+-UI5KAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-解：求开路电压UAB当电流I2mA时继电器的控制触点闭合（继电器线圈电阻是5KΩ）。问现在继电器触点是否闭合。PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007I5K+-uABRABAB1004020030k10k60k+++---ABUAB+-60200301001040)601301101(AB+−+=++UUAB=26.7VRAB=10//30//60=6.67kΩ二极管导通I=26.7/(5+6.67)=2.3mA2mA结论:继电器触点闭合。PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007例3R多大时能从电路中获得昀大功率，并求此昀大功率。解：15V5V2A+20Ω+--20Ω10Ω5Ω+-85VR10Ω5V+-20Ω15V2A20Ω+-10Ω5Ω+-85VR10Ω10V2A10Ω+-10Ω5Ω+-85VR10Ω5PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007R=4.29Ω获昀大功率。50V30Ω+-5Ω+-85VRU0R0+-R0530508580V3535U=×+×=03054.2935R×==Ω2max80373W44.29P==×10V2A10Ω+-10Ω5Ω+-85VR10ΩUo+–Ri3ΩUR-+解：(1)求开路电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3Ω6ΩI1+–9V+–Uo+–6I1已知如图，求UR。例43Ω6ΩI1+–9V+–UR+–6I13ΩPrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007(2)求等效电阻Ri方法1开路电压、短路电流I=Uo/RiRi=Uo/I注意I的方向3Ω6ΩI1+–9VIsc+–6I1Uo=9V3I1=-6I1I1=0Isc=1.5A6Ω+–9VIscRi=Uo/Isc=9/1.5=6ΩUo+–RiABIPrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007方法2加压求流（独立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I×6/(6+3)=(2/3)IRi=U/I=6Ω3Ω6ΩI1+–6I1U+–IU=9×(2/3)I=6I(3)等效电路V39363=×+=RUUo+–Ri3ΩUR-+小结：(1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源的数值与所求开路电压方向有关。(2)串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。等效电阻的计算方法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；12加压求流法或加流求压法。开路电压，短路电流法。323方法更有一般性。(3)外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(4)当一端口内部含有受控源时，控制量与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。PrinciplesofElectricalCircuits,Lecture6,TsinghuaUniversity,2007任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来等效；其中电流