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第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理知识回顾:000)()(lim)(0xxxfxfxfxx1.若函数f(x)在点x0可导,则,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx2.函数f(x)在点x0可导的充要条件是f(x)在点x0的左右导数均存在且相等。0xxyoy=f(x)一、费马引理且在x0点可导,若对任意x∈U(x0)有f(x)≤f(x0),则设函数f(x)在点的某邻域U(x0)内有定义,.0)(0xff(x)≥f(x0),证明:对任意x∈U(x0)由f(x)≤f(x0)得f(x)-f(x0)≤0由f(x)在x0处可导,知000)()(lim)(0xxxfxfxfxx当xx0时,当xx0时,,,由f(x)-f(x0)≤0000000)()(xxxfxf00)()(lim0xxxfxfxx)(0xf00)()(xxxfxf00)()(lim0xxxfxfxx)(0xf)()()(000xfxfxf,0)(0xf0)(0xf,0)(0xf费马引理f(x)在x0点可导,对任意x∈U(x0)有f(x)≤f(x0),则.0)(0xf注:若x0∈(a,b),f(x)在x0可导,在区间(a,b)内f(x)≤f(x0)则.0)(0xf推论:若x0∈(a,b),f(x)在x0可导,在区间(a,b)内的最大值为f(x0)则.0)(0xf最小值罗尔定理若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使二、罗尔(Rolle)定理2Cabxyo)(xfyAB(几何解释)D0)(f罗尔定理若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则至少存在一点,使得.(,)ab()=0f例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]上连续且f(0)=1,f(1)=-3由零点定理:至少存在一点x0∈(0,1)使0)(0xf故方程x5-5x+1=0有小于1的正实根.罗尔定理若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则至少存在一点,使得.(,)ab()=0f设方程x5-5x+1=0另有一个小于1的正实根x1得f(x1)=0因f(x)=x5-5x+1在[x0,x1](或[x1,x0])上可导,且f(x0)=f(x1)在x0与x1之间至少存在一点ξ,使0)(f而在(0,1)内,055)(4xxf矛盾,故方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根罗尔定理若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则至少存在一点,使得.(,)ab()=0f例2设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明至少存在一点),(100)()(ff使证设F(x)=xf(x)因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又F(0)=0,F(1)=1·f(1)=0由罗尔定理:至少存在一点使),(100)(F0)()(ff即练习设函数f(x)在上可导,且0f(x)1,]4,0[xxf2sec)()4,0(证明在内有且仅有一个x,使f(x)=tanx)4,0(在内证设F(x)=f(x)-tanx,0)0()0(fF01)4()4(fF∴在内至少有一个a,使F(a)=0,)4,0(即f(a)=tana设在内另有一个点b,使f(b)=tanb)4,0(则F(b)=f(b)-tanb=0=F(a)∵函数f(x)在上可导,]4,0[由罗尔定理:至少存在一点使),(ba0)(F,0sec)()(2fF,sec)(2fxxf2sec)()4,0(与在内矛盾,)4,0(故在内有且仅有一个x,使f(x)=tanx注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,abafbfKAB)()(xyoabABy=f(x)BxabAy=f(x)yoxyoabABy=f(x))(fabafbf)()(其结论可能不成立。三、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日定理y12abxo)(xfyABCD若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)))((abf(几何解释)拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理若f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点,使得.(,)aba)(xfyb1ABoxyCD拉格朗日中值定理结论的其它表示形式:))(()()(abfafbf()()(),fbfafbaab()()(())()fbfafababa01①②()()()fxxfxfxxx01③,0)(xf推论若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内恒有则函数f(x)在[a,b]上是一个常数.证则f(x)在[x1,x2]连续,(x1,x2)内可导;至少存在一点),(21xx使)()(12xfxf))((12xxf],[,21baxx0故)()(12xfxf则函数f(x)在[a,b]上是常数.拉格朗日定理函数f(x)满足:(1)[a,b]上连续;(2)(a,b)内可导;则使得f(b)-f(a)),(ba))((abf例4证明当x0时,.)1ln(1xxxx证:设f(t)=ln(1+t)在[0,x]上应用拉格朗日定理得:f(x)-f(0))0)((xf即:ln(1+x)=x11因为11+ξ1+x,)0(,x所以1xxx1x.)1ln(1xxxx,有,()0gx若函数g(x)与f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点,使得(3)(,)xabABoXYCD()ga()g()gb1()g()fa()fb四、柯西(Cauchy)中值定理)()()()()()(gfagbgafbf),(ba罗尔定理函数f(x)满足:(1)[a,b]上连续;(2)(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则使得),(ba0)(f拉格朗日定理函数f(x)满足:(1)[a,b]上连续;(2)(a,b)内可导;则使得),(baabafbff)()()(柯西定理函数f(x),g(x)(1)[a,b]上连续;(2)(a,b)内可导;且则使得0)(xg)()()()()()(agbgafbfgf),(ba若g(x)=x,)()()()()()(agbgafbfgfabafbff)()()(若f(b)=f(a)0)(fACDxyo)(xfyab12几何解释:BD)(bgBC)(1g)(agA)(2gXoY)()(xfYxgXab12xoy)(xfyABCD连续曲线AB,若除端点外,处处有不垂直于x轴切线,则该曲线上至少有一点的切线平行于端点连线AB。
本文标题:高等数学-中值定理
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