导数的计算(教)新课教案

导数的计算一、考点热点回顾教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；教学难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式．几个常见函数的导数探究1．函数()yfxc的导数根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx所以00limlim00xxyyx函数导数yc0y0y表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()yfxx的导数因为()()1yfxxfxxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．2探究3．函数2()yfxx的导数因为22()()()yfxxfxxxxxxx2222()2xxxxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像（图3.2-3）上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快．若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．探究4．函数1()yfxx的导数因为11()()yfxxfxxxxxxx2()1()xxxxxxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx函数导数1yx21yx探究5．函数()yfxx的导数因为()()yfxxfxxxxxxx()()()xxxxxxxxxx()()xxxxxxx所以0011limlim2xxyyxxxxx函数导数3yx12yx（2）推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx函数导数yc'0yyx'1y2yx'2yx1yx'21yxyx12yx*()()nyfxxnQ'1nynx函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx'1()log()(01)lnafxxfxaaxa且()lnfxx'1()fxx4二、典型例题1．下列各式正确的是()A.(sinα)′＝cosα(α为常数)B.(cosx)′＝sinxC.(sinx)′＝cosxD.(x－5)′＝－15x－6【答案】C【解析】由导数运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sinα)′＝0.选C2．下列求导运算正确的是（）A.'1(2)=2xxxB.2'211()2xxxxC.'(3)3xxeeD.'2cossin()coscosxxxxxx【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：2'2ln2xx，2211'2xxxx，3'3xxee，2cossin'coscosxxxxxx.本题选择C选项.3．已知3ln3xfx，则fx等于()A.3xB.13ln33xC.33ln3xxD.3ln3x【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有：'3'ln3'3ln303ln3xxxfx.本题选择D选项.4．函数21fxx的导函数为（）A.1fxxB.21fxxC.2fxxD.22fxx【答案】D【解析】因为22121fxxxx，所以22fxx，应选答案D。5．已知函数36,1xfxxgxe，则这两个函数的导函数分别为()A.263,xfxxgxeB.23,1xfxxgxe5C.23,xfxxgxeD.263,1xfxxgxe【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数36,1xfxxgxe，则这两个函数的导函数分别为23,xfxxgxe.本题选择C选项.6．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定解析：选B∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．7．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e解析：选A由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.8．已知f(x)＝－3x53，则f′(22)＝()A．10B．－5x23C．5D．－10解析：选D∵f′(x)＝－5x53，∴f′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D.9．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.10.曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－π4C.π4D.5π4解析：选C∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.11．求下列函数的导数：6(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；(4)y＝sinx＋π2；(5)y＝e2.解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(4x)′＝4xln4.(3)y′＝(log3x)′＝1xln3.(4)y′＝(cosx)′＝－sinx.(5)y′＝(e2)′＝0.三、课堂练习1．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(lnx)′＝1x，∴y′|x＝e＝1e.∴切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－ey＝0.答案：1ex－ey＝02．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝1x，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－1x＝1.解得x＝1或x＝－12，因为x＞0，所以x＝1.答案：13．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．答案：(0，－a2)4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.7过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M12，14，与PQ平行的切线方程为：y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为()A.12523B.110523C.25523D.110523解析：选B∵s′＝15t－45.∴当t＝4时，s′＝15·1544＝110523.6．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C∵y＝lnx的导数y′＝1x，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.7．在曲线f(x)＝1x上切线的倾斜角为34π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)解析：选D因为f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－1x2＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()8A.1nB.1n＋1C.nn＋1D．1解析：选B对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝nn＋1，∴x1·x2·…·xn＝12×23×34×…×n－1n×nn＋1＝1n＋1，故选B.9．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝1x，∴1x＝2，解得x＝12.∴切点的坐标为12，－ln2.故切线方程为y＋ln2＝2x－12.即2x－y－1－ln2＝0.答案：2x－y－1－ln2＝010．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．解析：∵y′＝12x，∴切线方程为y－a＝12a(x－a)，令x＝0，得y＝a2，令y＝0，得x＝－a，由题意知12·a2·a＝2，∴a＝4.答案：411．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，x20)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x20＝2x0(3－x0)，即x20－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.12．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．9证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝a2x′＝－a2x2.∴过点P的切线方程为y－y0＝－a2x20(x－x0)．令x＝0，得y＝2a2x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·2a2x0·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx