菱形-复习中难题--含答案

菱形复习中难题含答案1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2．菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3．菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半（★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数为．【答案】50°、130°、50°、130°．（★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．FEDCBA【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．（★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．【答案】4．（★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形DCBA【答案】B（★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．答案：120°．（★★★）1．菱形的对称轴共有条．【答案】2．2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．（★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）下列命题错误的有（填写序号）．①菱形四个角都相等．②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．【答案】①②③．（★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（）A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形【答案】C（★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．（★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．HDMFEGCBA【答案】证明：先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形．（★★）在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、DC边上的点，∠EBF=60°．（1）判定△BEF的形状；（2）证明你的结论．DFECBA【答案】联结BD，易证ABEDBF△△，故BEF△是等边三角形．（★★★）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ABCD是菱形；________ABCD是菱形。【答案】（1）（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）（★★★）□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C．（★★★）下列图形中，不一定为菱形的是（）．A．两条对角线互相垂直平分的四边形B．四条边都相等的四边形C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图形【答案】D．（★★★）1．如图，在ABC△中，点EDF，，分别在边AB，BC，CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是矩形【答案】D．（★★★）2．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．OEDFCBAＡＦＣＤＢＥ【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AB∥CD,∴∠E＝∠F，∵∠DOE＝∠BOF∴△DOE≌△BOF．(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明．1．熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础．2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论．3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD2．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（直接填写序号）___________3个，能使四边形ABCD是菱形．3．已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．4．已知：如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F，求证：四边形ABEF是菱形．5．如图，将一张矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕OBACED，最后分别沿AE、CF折叠．得到的四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？6．结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF是菱形．并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程．7．已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=30°，求证：BDACAB2．8．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N．求证：四边形AMNE是菱形．BACEDFBACEDFBACD答案：1．C2．（答案不惟一，只要正确即可）①②⑤或③④⑤等．3．可证出△AEO≌△CFO，得AE=CF．再由AC是EF的垂直平分线，得EC=EA，AF=CF．由此得EC=AF=CF，所以四边形AFCE是菱形．4．先证四边形ABEF是平行四边形，再由AE平分∠BAF，得∠FAE=∠BAE．又由∠FAE=∠AEB，得∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，所以ABEF是菱形．5．四边形AECF是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形，在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形．6．（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略．7.过点C作CE⊥BA，垂足为E．在Rt△BEC中，∠ABC=30°，∴BCEC21，∵四边形ABCD为菱形，∴ABEC21．22121ABABABECABS菱形．又∵BDACS21菱形，∴BDACAB2．8.证明：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵AN平分∠DAC，∴∠CAN=∠DAN，∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，∴∠BAN=∠BNA，∵BE平分∠ABC，∴BE⊥AN，OA=ON，同理：OM=OE，∴四边形AMNE是平行四边形，∴四边形AMNE是菱形。知识结构菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质：2、菱形的性质定理1菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的对称性菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等与对角线乘积的一半菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形一、菱形的性质例题1菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★)A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选C．答案：C本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．我来试一试！菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★)A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60例题2已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．(★★)答案：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BCDCACDCB平分,．∴CECEDCEBCE又.,∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。我来试一试！1、如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．（★★）解题分析：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，AC⊥BD∵EF⊥AC，∴EF∥BD，又ED∥FB，∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，∵E为AD的中点，∴AE=ED，∴AE=BF，又AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，即AB与EF互相平分．2、已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）解答方法：连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2．∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，则∠CEF=_________．（★★★）解题分析：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°，∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∵∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC，∴∠BAE=∠FAC，∴∴△ABE≌△ACF，（ASA）∴AE=AF，例题3又∵∠EAF=∠D=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AEC=