2016全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题

基于反演算法的系泊系统设计探究摘要本文探究的是近浅海观测网的系泊系统设计问题。通过平衡条件，对系泊系统的整体和各局部进行受力分析，得到系统各要素之间的递推公式。由此，本文采用反演、多目标优化等方法分析和解决本问题。对于问题一，首先对题目中所给出的传输节点示意图建立直角坐标系，进行受力分析，得出系统各部分的递推公式，从而根据递推-验证的反演算法建立模型。再将未知量吃水深度ℎ设为已知量，以题目所给水深18𝑚为约束条件，通过遍历算法运算出结果。接着对异常数据进行作零处理，分析锚链与海床接触的情况，推导得出钢管倾角、锚链形状等。最后通过系统是否受力平衡对结果进行检验。结果显示风速为12𝑚/𝑠时吃水深度为0.6870𝑚，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次为1.120、1.127、1.135、1.142，钢桶倾斜角(度)为1.150，游动区域为半径14.34𝑚的旋转面，24𝑚/𝑠时吃水深度为0.7015𝑚/𝑠，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次为4.258、4.285、4.313、4.341，钢桶倾斜角(度)为4.370，游动区域为半径17.46𝑚的旋转面。对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36𝑚/𝑠直接代入问题一的模型中，得出此条件下的吃水深度为0.723𝑚，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，游动区域半径为18.80𝑚。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被拖行。随后考虑第二个子问题，对重物球重量进行调整，以钢桶倾斜角最小和吃水深度最小为目标函数，以水深18𝑚、系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为约束条件，以重物球重量、吃水深度为决策变量，建立多目标优化模型，再将其转化为单目标优化。之后，通过分层递进法求出达到要求角度的重物球重力临界值，求得重物球重力最小为2011𝑘𝑔。最后对可能存在的缺失值通过代入法进行了添补。对于问题三，考虑到安全因素，将系统设定为处于较极端环境下，即水深、风速、海水速度分别设为16𝑚，36𝑚/𝑠，1.5𝑚/𝑠。在风速与水流速度同向的情况下，采用控制变量法对钢桶倾斜角和锚链末端与锚链接处的切线方向与海床的夹角随风速、海水深度、海水速度影响的变化规律进行分析。从而可以确定使角度满足题意的变量临界值。然后，以钢桶倾斜角最小和吃水深度最小为目标函数，以水深16𝑚、系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为约束条件，以重物球重量、吃水深度和锚链长度为决策变量，以风速36𝑚/𝑠、海水速度1.5𝑚/𝑠为初始条件，得出不同锚链类型和长度的最优解。最后，选取4组可行解，并对所得系泊系统进行分析。最后，对模型作出了客观的评价及推广。关键词：反演算法;多目标优化;遍历算法;递推公式;系泊系统。1一、问题的重述1.1问题的背景为满足海上资源开发利用的需要，海上作业平台、浮游码头及海上浮桥的应用日渐增加，这些海上漂浮结构物的海上定位需要锚泊系统的约束来实现。锚泊系统在在海洋海岸工程中的形式多样，应用十分广泛。其中，近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，浮筒式单点系泊系的设计与应用对海上科学发展有重要意义。1.2问题的提出已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为𝑚、高为2𝑚、质量为1000𝑘𝑔的圆柱体，锚的质量为600𝑘𝑔，钢管共4节，每节长度为1𝑚，直径为50𝑚𝑚，每节钢管的质量为10𝑘𝑔。水声通讯系统安装在一个长为1𝑚、外径为30𝑐𝑚的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100𝑘𝑔。图1:传输节点示意图锚链与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖动。钢桶竖直时，水声通讯的效果最佳。为了控制钢桶的倾斜角度，链接处可悬挂重物球。要求通过数学建模来完成以下任务：(1)某传输节点选用22.05𝑚的II型锚链和1200𝑘𝑔的重物球，布于深18m、海床平坦、密度为1.025×103𝑘𝑔/𝑚3的海域。若海水静止，计算海面风速为12𝑚/𝑠和24𝑚/𝑠时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。(2)在问题1的假设下，计算海面风速为36𝑚/𝑠时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。调节重物球的质量，使钢桶的倾斜角不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。(3)因潮汐等影响，布放海域的水深实测在16𝑚∼20𝑚之间。布放点的海水速度可达1.5𝑚/𝑠、风速可达36𝑚/𝑠。考虑风力、水流力和水深，请设计系泊系统，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2二、问题分析2.1问题一的分析问题一要求计算不同海面风速时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。要解决此问题，首先对题目中所给出的传输节点示意图建立直角坐标系，对传输节点进行先整体后局部的受力分析，得出系泊系统各部分的递推公式，建立递推-校正的反演模型，得到相关相关方程组。为求解此方程组，将题目所给的水深18𝑚作为约束条件，给吃水深度赋以初始值，遍历所有可能的吃水深度值，记录对应的水下物体竖直方向的高度总和，取与18𝑚最接近时所对应的吃水深度为最优解，推导得相应的倾斜角、游动区域等。2.2问题二的分析问题二的第一个子问题要求在问题一的基础上，将风速设定为36𝑚/𝑠。因此，先将其直接代入问题一的模型中，求得此条件下的吃水深度、各钢管倾斜角度、锚链形状等。此时，发现钢桶倾斜角和锚与锚链链接处的切线方向与海床的夹角均不符合题目要求，即水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被拖行，因此无法求解游动区域。之后，对于第二个子问题，考虑调整重物球的重量，以使倾斜角度满足题目要求。首先分析重物球对各个角度的影响，发现重物球越重角度越小。据此设立重物球重力范围，在满足系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小于5度的条件下，将多目标优化模型转化为单目标优化模型。然后遍历所有吃水深度的可取值，寻找可行的情况，再通过分层递进法求出恰好达到要求角度的重物球重力临界值。2.3问题三的分析问题三要求考虑海水速度，并给出不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。以风速方向和水流速度方向相同时为例，为得出各变量与角度的关系，考虑采用控制变量法对风速、海水深度、海水速度的变化分别对钢桶的倾斜角度和锚链末端与锚链接处的切线方向与海床的夹角的影响进行分析，再进一步确定使角度满足题意的变量临界值。以水深16𝑚、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型号和长度，设定重物球重力的范围，对所有吃水深度的可取值进行遍历，判断对应的钢管倾斜角度、海水深度是否小于临界值，小于则取其作为可行情况，否则重新设定锚链的型号和长度，继续运算。最终设计出几种可行的系泊系统方案，并对其进行分析。再分析在风速与水流速度不在同一方向时的情况，对该模型进行优化。3三、模型假设1.假设锚链的浮力忽略不计；2.假设浮标不倾斜；3.假设海床水平；4.假设水流方向与海床平行；5.假设重力加速度为10𝑁/𝑘𝑔。四、符号说明符号意义ℎ吃水深度𝐹𝑏浮标所受浮力𝑚𝑏浮标的质量𝐺𝑏浮标的重力𝑑𝑏浮标直径𝐻浮标高度𝐹𝑁𝑎锚所受的海床弹力𝐺𝑎锚的重力𝐹𝑤风力𝐹𝑔钢管所受浮力𝐹𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡钢桶及以上各物的浮力和𝐹′𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡锚链的浮力和𝐺钢桶及以上各物的浮力和𝐺′锚链的重力和𝑙锚链长度𝐿′链环长度𝐺𝑞重球的重力*其余符号在文中详细说明4五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1问题一模型的建立(1)模型的准备假设吃水深度已知，并令其为ℎ，浮标质量为𝑚𝑏，浮标直径为𝑑𝑏，浮标高度为𝐻，海水密度为𝜌。浮标重力𝐺𝑏𝐺𝑏=𝑚𝑏𝑔(1)浮标所受浮力𝐹𝑏𝐹𝑏=𝜌𝑔𝜋(︀𝑑𝑏2)︀2ℎ(2)结合近海风荷载公式，得到风力𝐹𝑤𝐹𝑤=0.625𝑆𝑣2=0.625(𝐻−ℎ)𝑑𝑣2(3)(2)钢管和钢桶的倾斜角度模型∙浮标的受力分析图2:受力分析图其中，𝐹𝑇1为第一根钢管对浮标的拉力。⎧⎨⎩𝐹𝑏=𝐺𝑏+𝐹𝑇1𝑠𝑖𝑛𝛽1𝐹𝑤=𝐹𝑇1𝑐𝑜𝑠𝛽1(4)其中,𝐹𝑤=0.625(𝐻−ℎ)𝑑𝑣2𝐺𝑏=𝑚𝑏𝑔5根据以上公式可推导出𝛽1，且其与第一根钢管与水平方向的夹角为两平行线间的内错角，所以相等。∙钢管和钢桶的受力分析图3:受力分析图其中，𝐹𝑇2为第一根钢管对第二根钢管的拉力。对受力分析图进行进一步地分析，建立如下函数关系式：⎧⎨⎩𝐹𝑔1=𝜌𝑔𝑉′=𝜌𝑔𝜋(𝑑𝑔2)2ℎ𝑔𝐺𝑔1=𝑚𝑔1𝑔(5)此外，可得到：⎧⎪⎨⎪⎩𝑡𝑎𝑛𝛽2=𝐹𝑏+𝐹𝑔1−𝐺𝑏−𝐺𝑔1𝐹𝑤𝐺𝑔1=𝑚𝑔1𝑔(6)根据反三角关系，得：𝛽2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝛽2(7)由此可推导得𝑡𝑎𝑛𝛽𝑛+1=𝐹𝑏+𝑛∑︁𝑖=1𝐹𝑔𝑖−𝐺𝑏−𝑛∑︁𝑖=1𝐺𝑔𝑖𝐹𝑤,𝑛=1,2,3,4(8)其中，当𝑛=1，2，3时，𝛽𝑛为第𝑛+1根钢管与水平方向的夹角；当𝑛=4时，𝛽𝑛为钢桶与水平方向的夹角。∙锚的受力分析6图4:受力分析图其中，𝑓为摩擦力，𝐹𝑇′为锚链对锚水平方向的拉力。图5:受力分析图其中，𝐹𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡为钢桶和重物球及以上各物体的浮力和，𝐺为钢桶和重物球及以上各物体的重力和，𝐹𝑇为锚链对钢桶的拉力，即锚的拉力、锚链的重力和浮力的合力。其中，设重力球的质量为𝑚𝑞，密度为𝜌𝑞，重力球的浮力𝐹𝑞计算如下：𝑉𝑞=𝑚𝑞𝜌𝑞(9)𝐹𝑞=𝜌𝑔𝑉𝑞(10)式中𝜌𝑞取钢的密度，查阅文献的为7.85𝑔/𝑐𝑚3。⎧⎪⎨⎪⎩𝐹𝑓−𝐺−𝐺𝑞=𝐺′𝐺′−𝐹′𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡=𝐺′𝑙𝑙ℎ(11)𝑡𝑎𝑛𝜃𝑗=𝐹𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡−𝐺−(𝑗−1)𝐺′𝐹𝑤,𝑗=1,2,···,210(12)7式中𝑙为锚链长度，𝑙ℎ为链环长度，𝐺′为单节链环的重力。其中，𝐺=𝐺𝑞+4𝐺𝑔+𝐺𝑡+𝐺𝑏𝐹𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡=𝐹𝑞+4𝐹𝑔+𝐹𝑡+𝐹𝑏𝜃𝑗=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃𝑗(13)由此，可计算出𝛽𝑖和𝜃𝑗(3)游动区域的计算定义：在海平面上半径为𝑟的旋转面。𝑟=5∑︁𝑖=1𝐿𝑖𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖+210∑︁𝑗=1𝐿′𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗其中，𝐿𝑖为第𝑖个装置(包括各钢管、钢桶)的长度，𝐿′𝑗为第𝑗个链环的长度。吃水深度h成立的判断条件：𝐷=5∑︁𝑖=1𝐿𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽𝑖+210∑︁𝑗=1𝐿′𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗=18其中，𝐷为海域水深。5.1.2问题一模型的求解Step1:遍历求解令吃水深度ℎ的初始值为0.1𝑚，以0.0005𝑚为单位逐步增加至2𝑚。(浮标高度𝐻为2𝑚，完全浸没时吃水深度ℎ则为2𝑚)，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：表1:不同风速的相关结果表以风速24𝑚/𝑠的情况为例，绘制游动区域图：8图6:游动区域旋转面图图表分析由表可见，风速为24𝑚/𝑠时的吃水深度大于12𝑚/𝑠时的，且游动区域半径也较12𝑚/𝑠时的大，切合人们实际生活经验。Step2:异常数据的处理在上述操作中，发现部分负值，不符合预期情况，如表所示：表2:异常数据表经分析，认为异常数据为部分锚链接触海床而产生的，因此，下面将锚