高考数学考点突破——直线与圆：圆的方程

最新中小学教案、试题、试卷圆的方程【考点梳理】1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.【考点突破】考点一、求圆的方程【例1】(1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________.[答案](1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0[解析](1)法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，最新中小学教案、试题、试卷∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故（4－a）2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋（1－b）2＝r2，又∵b－1a－2＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.【类题通法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【对点训练】1．经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．[答案]x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)[解析]法一∵圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)．设所求圆的圆心为C(a，b)，则有2a－b－3＝0，b＝－12a－，最新中小学教案、试题、试卷解得a＝2，且b＝1.因此圆心坐标C(2，1)，半径r＝|AC|＝10.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，2×－D2＋E2－3＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.2．一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．[答案]x－322＋y2＝254[解析]由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0m4，r0)，则m2＋4＝r2，－m2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.考点二、与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.[解析]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，最新中小学教案、试题、试卷此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.【类题通法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【对点训练】1．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1x－2的最大值与最小值分别为________．[答案]33，－33[解析]设y－1x－2＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2，1)连线的斜率．当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．设过(2，1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由|2k|k2＋1最新中小学教案、试题、试卷＝1，解得k＝±33.2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值和最小值分别为________．[答案]2－1，－2－1[解析]设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值分别为________．[答案]34＋1，34－1[解析]x2＋y2＋2x－4y＋5＝x＋2＋y－2，则它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.考点三、与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解析](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【类题通法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：最新中小学教案、试题、试卷(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【对点训练】1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1[答案]A[解析]设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.2．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0[答案]D[解析]由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.最新中小学教案、试题、试卷