二重积分ppt

二重积分•一.二重积分的性质•二.二重积分的算法•三.二重积分与极坐标•四.二重积分的应用学习内容：一.二重积分的性质1.线性性质（其中:是常数）[(,)(,)](,)(,)]fxygxydfxydgxydDDD2.对区域的有限可加性若区域D分为D1，D2两个部分区域,则：fxydfxydfxydDDD(,)(,)(,)213.若在区域D上总有fxyxy(,)(,)DDdyxdyxf),(),(，则有不等式dyxfdyxfDD),(),(4.若在区域D上有fxy(,)1为区域D的面积）1ddDD（5.估值不等式设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值，DMdyxfm),(是D的面积6.中值定理若f(x,y）在闭区域上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点使得(,)Dfdyxf),(),(例1：估计二重积分DdyxI)94(22的值，D是圆域xy224解:求被积函数在区域上可能的最值94),(22yxyxf0802yyfxxf(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：)22(3259)4(4),(222xxxxyxf25),(13yxf25maxf9minf，1004254936I于是有：例2：比较积分DdyxI)ln(1DDdyxIdyxI)(,)(322，的大小其中D是由直线21,0,0yxyx1yx和所围成的解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点Dyx),(均有121yx从而有0)(2yxyx而0)ln(yx故由二重积分的性质得321III二.二重积分的算法在区间[a,b]上任意取一个点x0作平行于yoz面的平面x=x0这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]1020xx为底，曲线zfxy(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为Axfxydyxx()(,)()()001020该曲顶柱体的体积为VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12D:x1(y)xx2(y)cydI=)()()d(yxyxxy,xf0yxx2(y)x1(y)cdyDyxy,xfId)d(二重积分计算的两种积分顺序D0yxcdyDx2(y)x1(y)I=二重积分计算的两种积分顺序.Dyxy,xfId)d()()()d(yxyxxy,xfD:x1(y)xx2(y)cyd0yxcdydcydDD:y1(x)yy2(x)axb0yxI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)x)()(d),(xyxyyyxfI=二重积分计算的两种积分顺序.Dyxy,xfId)d()()()d(yxyxxy,xfD:x1(y)xx2(y)cyd0yxcdyD0yxI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)x6.二重积分计算的两种积分顺序.Dyxy,xfId)d()()(d),(xyxyyyxfI=)()()d(yxyxxy,xfdcydD:x1(y)xx2(y)cydD:y1(x)yy2(x)axb0yxcdyD0yxI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)xbaxd二重积分计算的两种积分顺序.Dyxy,xfId)d()()(d),(xyxyyyxfI=)()()d(yxyxxy,xfdcydD:x1(y)xx2(y)cydD:y1(x)yy2(x)axb所围区域与xyxyDyxxyD:,dd110yxD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形Dddyxxyxxyxydxdxxyyxxdd1053d)(21xxx2413先对x积分（从左到右）...Dddyxxyyyxxydyd241...例3：用两种顺序计算一先对x积分yxoabDyxoabDyxoabDbaybaxyxfyId),(dbybaxyxfyId),(dbbyaxyxfyI)(d),(d...1byax.例4：将二重积分化成二次积分Dyxy,xfId)d(二先对y积分yxoabyxoabyxoabDDDaxabyyxfxId),(d...abxabyyxfxId),(daaxbyyxfxI)(d),(d1byax..Dyxy,xfId)d(举例说明如何交换二次积分的次序•（1）对于给定的二重积分先根据其积分限•画出积分区域D•（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限•（3）写出结果,),()()(21xxbadyyxfdx),()(,21xyxbxa),()(,21yxydyc.),(),()()()()(2121yydcxxbadxyxfdydyyxfdx例1将交换积分次序。ydxyxfdy010),(解：由得积分区域ydxyxfdy010),(Dyx010y：令，，，，画出的示意图如图。x0yxy01yD11oxyxy因为，所以D10x1yx：ydxyxfdy010),(110),(xdyyxfdx画出的示意图如图。例2将交换积分次序。解：由得积分区域D10xxy10：令，，，，x01xy0xy1D11oxyxy1因为，所以Dyx1010y：1010),(xdyyxfdx1010),(xdyyxfdx1010),(xdyyxfdx1010),(ydxyxfdy极坐标系下的面积元素DσyxfId),(将变换到极坐标系0D用坐标线:=常数；r=常数分割区域Diriri+1iiiθrrΔΔ..iriσΔiiiiiθrrrrΔΔ2)Δ(),(iiηξiiiiiiθrηθrξsin,cosiiiniσηξfΔ),(lim1iiiiiiiniθrrθrθrfΔΔ)sin,cos(lim1Dθrrθrθrfdd)sin,cos(..iθ..是平均值)ir(iii+iI=iiiiiθrθrrΔ21Δ)Δ(2122rcos,θrx,θrysin?σd.,σd.三.二重积分与极坐标怎样利用极坐标计算二重积分1.极点不在区域D的内部0ABFE)(1r)(2rDD:)()(21rrrrrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21DyxyxfIdd),(Dyxy,xfId)d(r怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21D:)()(21rrr.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(1.极点不在区域D的内部r怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21βαθdD:)()(21rrr.步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(1.极点不在区域D的内部r2.极点位于区域D的内部0)(rDrrθrθrfθrd)sin,cos()(0rD:)(0rr20DyxyxfIdd),(怎样利用极坐标计算二重积分(2)Dyxy,xfId)d(r)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(0D0怎样利用极坐标计算二重积分(2).Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(2.极点位于区域D的内部r)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(020d.D0步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd怎样利用极坐标计算二重积分(2).Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(2.极点位于区域D的内部r0yx变为极坐标形式把d)d,(DyxyxfI所围区域与0)(:222yayaxD2acos2ar..20cos20d)sin,cos(dπθarrθrθrfθ)(222ayax,arcos即解例5：DyxyxfIdd),(.代入令sincosθryθrx此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0yxD:4321DDDDI变换到极坐标系20:πrrθrθrfθ2021d)sin,cos(d..之间的环域和yxyx例6:Dyxy,xfId)d(计算DyxyxfIdd),(D:=1和=2围成DyxxyIddarctan计算所围第一象限部分y,xy,yx,yx:D0yx12y=xD4021darctantandπrrθθ4021ddπrrθθ2643..I.例7：四.二重积分的应用（一）、曲面的面积（二）、平面薄片的质心（三）、平面薄片的转动惯量(四）、平面薄片对质点的引力（五）、经济应用卫星hoxz实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在天空不动.若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少?通讯卫星的覆盖面积是多大?一、曲面的面积MAdzdn一、曲面的面积xyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即例1求半径为R的球的表面积：解球面方程为：xyzORR2222.xyzR在第一卦限内球面的方程为222,zRxy在xOy平面上的投影区域可表示为D：x2+y2≤R2，x≥0，y≥0.又222,zxxRxy222.zyyRxy于是，所求球的表面积为2281dDzzAxy2228ddDRxyRxy222008ddRRrrRr2204[]RRRr即球的表面积24,AR它等于大圆面积的4倍.24.R二、平面薄片的质心设空间有n个质点,,),,(kkkzyx其质量分别,),,2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有平面域D,有连续密度函数则分别位于为为采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心公式若物体为占有xoy面上区域D的平面片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时