2019年高考数学一轮复习：正态分布

2019年高考数学一轮复习：正态分布正态分布1．正态曲线的性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσ222)(ex，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴____________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线____________对称；③曲线在x＝μ处达到峰值__________；④曲线与x轴之间的面积为____________；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的定义与简单计算(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝__________，则称随机变量X服从正态分布，记作__________．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．自查自纠1．(1)正态曲线(2)①上方②x＝μ③1σ2π④1⑤μ⑥小大2．(1)∫baφμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)(2015·湖北)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象可得μ1μ2，所以P(Y≥μ2)P(Y≥μ1)，A错误；又X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以0σ1σ2，所以P(X≤σ2)P(X≤σ1)，B错误；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误，故选C.(2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，若P(ξ3)＝0.977，则P(－1ξ3)＝()A．0.683B．0.853C．0.954D．0.977解：因为已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，所以正态曲线关于直线x＝1对称，又P(ξ3)＝0.977，所以P(ξ3)＝1－0.977＝0.023，所以P(－1ξ3)＝1－P(ξ－1)－P(ξ3)＝1－2P(ξ3)＝1－0.046＝0.954.故选C.(2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386B．2718C．3413D．4772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.解：P(0X1)＝12P(－1X1)＝12×0.6826＝0.3413，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.(2017·黄石九月调考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，δ2)，且P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则P(ξ2)＝________．解：P(ξ2)＝1－P（－2≤ξ≤2）2＝0.3.故填0.3.(2016·青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(110，102)，已知P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．解：数学成绩ξ的正态曲线关于直线x＝110对称，因为P(100≤ξ≤110)＝0.34.所以P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝12×(1－0.34×2)＝0.16.数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.故填8.类型一正态分布的概念与性质已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσi222)(eiix(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则()A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则12πσ1＝12πσ2＞12πσ3，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由φμ，σ(x)的解析式推知．如σ一定，当xμ且x增大时，(x－μ)2减小⇒－（x－μ）22σ2增大⇒222)(ex增大⇒φμ，σ(x)在x＝μ左侧单调递增．其他类似可得．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是()A．甲学科总体的方差最小B．丙学科总体的均值最小C．乙学科总体的方差最小D．甲、乙、丙的总体的均值不相同解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小．故选A.类型二正态分布的计算问题(2017·石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.9544.A．12076B．13174C．14056D．7539解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，所以P(－1X3)＝1－0.0228×2＝0.9544，因为P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.9544，所以1－2σ＝－1，故σ＝1，所以P(0X1)＝12P(0X2)＝0.3413，故估计落入阴影部分的点的个数为20000×(1－0.3413)＝13174，故选B.【点拨】正态分布计算的关键是在充分利用正态曲线的对称性；随机模拟的关键是计算面积(长度、体积)．设X～N(1，22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)因为P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)，所以P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝12[1－P(－3X≤5)]＝12[1－P(1－4X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σX≤μ＋2σ)]＝12(1－0.9544)＝0.0228.类型三正态分布的实际应用(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x—＝116i＝116xi＝9.97，s＝116i＝116（xi－x）2＝116（i＝116x2i－16x2）≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数x作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σZμ＋3σ)＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解：(1)抽取一个零件的尺寸在(μ～3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16，0.0026)，因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408，X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x—＝9.97，s＝0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i＝116x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.【点拨】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴X＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x—和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x—，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x—和样本方差s2分别为x—＝170