数学建模——应用微积分

第九讲应用微积分第五章应用微积分5.1预备知识：微积分的基本概念5.2数值微积分MATLAB指令5.3作业1.极限和连续数列极限:0,N0，使当nN时有xn-a，则函数极限:如果当xx0时有f(x)A，则limnnxalim()xxfxA0连续:如果当xx0时，有f(x)f(x0)则称f(x)在x0连续。闭区间上连续函数必有最大值和最小值。5.1预备知识：微积分2.微分与导数函数f(x)在点x=x0的导数为若f(x)在x0可导则在x0可微，dy=Adxfxfxhfxhh'()lim()()0000当f’(x0)0,函数在x0点附近是上升的；当f’(x0)0,函数在x0点附近是下降的；当f’(x0)=0,x0为驻点,若x0为驻点且f”(x0)0(或f”(x0)0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）当n=0得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)其中是x0与x之间某个值Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，fxfxfxxxfxxxfxnxxfnxxnnnn()()()()()()()!()()()!()'''()()00000200101213.多元函数微分学设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则Ayxfyyxx),(lim00若A=f(x0,y0),称f(x,y)在(x0,y0)点连续f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为fxyfxxyfxyxfxyfxyyfxyyxxyy'(,)lim(,)(,)'(,)lim(,)(,)00000000000000多元函数Taylor公式00000000200000002000(,)(,)[(,)()(,)()1[(,)()2(,)()()2(,)()]xyxxxyyyfxyfxyfxyxxfxyyyfxyxxfxyxxyyfxyyy二元函数在(x0,y0)附近局部线性化:f(x,y)f(x0,y0)+fx’(x0,y0)(x-x0)+fy’(x0,y0)(y-y0)多元函数极值•梯度：记为f=()。•f(x,y)在(x0,y0)取得局部极大或极小的必要条件是f(x0,y0)=0，充分条件是f(x0,y0)=0且下列Hesse矩阵负定(局部极大)或正定(局部极小)fxfy,222222yFyxFyxFxF4.积分函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为max()01()dlim()inbiiaxifxxfx其中a=x0x1…xn=b,xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,…,n若在[a,b]上,F’(x)=f(x),则二重积分定义为22max()0(,)ddlim(,)ijijijxyijGfxyxyfxy()d()()bafxxFbFa曲线曲面•平面曲线(x(t),y(t)),atb的长度为•空间曲线(x(t),y(t),z(t)),atb的长度为•曲面z=z(x,y),(x,y)inG的面积为222'()'()'()dbaLxtytztt22'()'()dbaLxtytt221''ddxyGSzzxy1.数值微分若f(x)在x=a可导,设h0且足够小称为向前差商向后差商中心差商fafahfah'()()()fafafahh'()()()fafahfahh'()()()25.2数值微积分MATLAB指令数值差分:n维向量x=(x1,x2,,xn)的差分定义为n-1维向量x=(x2-x1,x3-x2,,xn-xn-1)。diff(x)如果x是向量，返回向量x的差分如果x是矩阵，则按各列作差分。可得到列差分矩阵：[x(2:m,:)-x(1:m-1,:)]diff(x,k)k阶差分，即差分k次。例：diff(x,2)就等同于diff(diff(x))。例：x=[1247];diff(x)ans=123diff(x,2)ans=112.多项式的导数q=polyder(p)求得由向量p表示的多项式的导函数，并用q向量表示.例：p=[10-2-5];q=polyder(p)523xx3.梯形积分法z=trapz(x,y)返回积分的近似值，其中x表示积分区间的离散化向量;y是与x同维数的向量,表示被积函数。例1211dxex解»x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);»trapz(x,y)4.高精度数值积分quad(Fun,a,b)自适应步长Simpson积分法求得Fun在区间[a,b]上的定积分z=quadl(Fun,a,b)高精度Lobatto积分法.格式同quad.注：trapz,quad,quad1都不能用于求广义积分，对于一些假奇异积分也不能直接求解。不是数字1！xdx1321注意:积分中Fun里用数组运算!!例11、y=quad('exp(-x.^2)',-1,1)y=1.49362、y=quadl('exp(-x.^2)',-1,1)y=1.4936211dxex5.矩形区域重积分z=dblquad(Fun,a,b,c,d)求得二元函数Fun(x,y)的重积分，a,b为变量x的下上限；c,d为变量y的下上限.z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分,格式类似dblquad。例1程序：y=dblquad('x.*exp(x.^2+y.^2)',0,2,-2,2)y=881.8304例2程序：y=triplequad('y.*sin(t)+z.*cos(t)',0,pi,0,1,-1,1)y=2.0000222220exp()dyxxydx11100(sincos)dzdyytztdt作业1、计算下列多项式的根2、计算函数在[0,1]区间上的积分。3、计算在上的二重积分。2xeyxyxxyyxfcossin),(],0[],2,[yx242)(34xxxxp