第5讲-变量与函数

数学教研组编写八年级寒假人教版课件第五讲变量与函数解读一变量与常量1．常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量；2．变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量．注意：（1）变量和常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”．当变化过程改变时，同一个量的“身份”也可能随之改变．例如，在s＝ut中，当s一定时，u，t为变量，s为常量；当u一定时，s，t为变量，u为常量；（2）变量、常量与字母的指数无关，例如，在y＝x2中，不能说x2，y是变量，只能说x，y是变量；（3）在一个变化过程中，变量和常量可能不止一个；（4）变量一般用字母表示，常量一般用数字表示，但字母π是常量．【例1】分别指出下列关系中的变量和常量：（1）圆的面积公式S＝πr2(S是面积，r是半径)；（2）正多边形的内角和公式a＝(n—2)×180°(a是正多边形的内角和，n是正多边形的边数)；（3）一种商品的单价为a，购买该商品所付的总金额y与购买数量x的关系为y＝ax．【答案】（1）π是常量，S与r是变量．（2）－2和180°是常量，n和a是变量．（3）a是常量，y与x是变量．【变1】在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝12ah，当a为定长时，在此式中()A．S，h是变量，12，a是常量B．S，h，a是变量，12是常量C．S，h是变量，12，S是常量D．S是变量，12，a，h是常量【答案】A．【变2】笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量；上述判断正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．解读二函数定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．注意事项（1）必须是两个变量，不能多，也不能少；（2）一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，函数都有唯一确定的值与它对应，可以是“一对一”或“多对一”，但不可以“一对多”．注意：函数不是数，函数的本质是对应．函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．【例2】下列关系中，y不是x的函数的是()A．y＝xB．y＝C．y＝x2D．|y|＝x321x【答案】D【变3】下列式子：①y＝3x－5；②y1x；③y1x；④y2＝x；⑤y＝|x|，其中y是x的函数的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C．【变4】下列变量之间的关系：①凸多边形的对角线条数与边数；②三角形面积与它的底边(高为定值)；③x－y＝3中的x与y；④圆的面积与圆的半径；⑤y＝|x|中的x与y．其中成函数关系的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．解读三函数解析式1．函数解析式又叫函数关系式．函数解析式是等式，等式的左边是函数，右边是用自变量表示函数的一个代数式．2．写函数解析式的三个步骤第1步：认真审题，根据题意找出相等关系；第2步：根据相等关系写出含有两个变量的等式；第3步：将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的形式．注意：（1）函数解析式可以看成是关于自变量和函数的一个二元方程；（2）函数解析式不是写出等式就行，还要把表示函数的变量单独放在等号左边．【例3】某复印的收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：则()x(页)1002004001000…y(元)4080160400…A．y＝52xB．y＝25xC．y＝10xD．y＝4x【答案】B．【变5】某商场自行车存放处每周的存车量为5000辆次，其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元，若普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是()A．y＝0.5x＋5000B．y＝0.5x＋2500C．y＝－0.5x＋5000D．y＝－0.5x＋2500【答案】C．【变6】某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：排数(x)1234…座位数(y)50535659…写出座位数y与排数x之间的关系式___________．【答案】y＝3x＋47．解读四函数自变量的取值范围1．函数自变量的取值必须满足的两个条件（1）自变量的取值要使函数有意义；（2）函数自变量的“取值范围”是自变量取值的全体．2．求函数自变量取值范围的方法（1）几种常见的函数解析式的自变量的取值范围类型特点举例自变量的取值范围整式型等号右边是关于自变量的整式y＝x2＋5x—6全体实数分式型等号右边是关于自变量的分式y＝12x使分母不为0的实数根式型等号右边是关于自变量的开偶次方的式子y＝5x使根号下的式子大于或等于0的实数零次幂或负整数指数幂等号右边是关于自变量的零次幂或负整数指数幂y＝(x－1)0或y＝x－1使底数不为0的实数综合型包含上述4种情况中的至少2种y＝使各部分有意义的公共部分1xx＋（2）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数解析式有意义，而且还必须使实际问题有意义．例如，当自变量是球的个数时，这个自变量就必须是非负整数．（3）在一些几何问题中，自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要符合几何图形的几何意义，如三角形三边关系、三角形的内角和等．注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是几个数，甚至是单独的一个数．例如，在函数y＝2x中，自变量x的取值范围是x＝0．【例4】求下列函数中自变量的取值范围：（1）y＝3x－2；（2）y＝11x；（3）y＝3x；（4）y＝(x＋2)0．【答案】（1）自变量x取全体实数．（2）要使y＝11x有意义，必须使1－x≠0，解得x≠1．（3）要使y＝3x有意义，必须使x＋3≥0，解得x≥－3．（4）要使y＝(x＋2)0有意义，必须使x＋2≠0，解得x≠－2．【变7】函数y＝12x＋＋1x，自变量x的取值范围是()A．x＞1B．x≥1且x≠－2C．x≥1D．x≠－2【答案】C．解读五函数值1．函数值：当自变量在允许取值范围内取某一个确定的数值，因变量对应的数值即为此时的函数值．2．（1）已知自变量的值求函数值，就是把自变量的值代入函数解析式，再求代数式的值；（2）已知函数值求自变量的值，就是把函数值代入函数解析式，再解方程．注意：函数与函数值的区别与联系（1）区别：函数是变量，如函数y＝2x，其中y是可以随着x的化而变化的量，且变量y是变量x的函数；函数值是变量y所取的某个具体数值．（2）联系：一个函数可能有许多不同的函数值．【例5】在一个数值转换机中(如图)，当输入x＝－5时，输出的y值是()A．26B．－13C．－24D．7输入x输出yy＝x2＋1(x＞0)y＝2x－3(x＜0)【答案】B．【变8】已知水池中有600m3的水，每小时抽出50m3．（1）写出剩余水的体积V(单位：m3)与时间t(单位：h)之间的函数解析式；（2）写出自变量t的取值范围；（3）8h后，水池中还有多少水？（4）几小时后，水池中还有100m3水？【答案】（1）V＝600—50t．（2）由解得0≤t≤12．（3）当t＝8时，V＝600—50×8＝200(m3)，即8h后，水池中还有200m3水．（4）当V＝100时，100＝600—50t，解得t10，即10h后，水池中还有100m3水．0600500tt≥，－≥，解读六函数的图象1．函数图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．2．代入法验证点是否在函数图象上欲判断点P(x，y)是否在函数的图象上，只需把x，y的值代入函数的解析式，如果左、右两边相等，那么这个点就在函数的图象上，否则，就不在函数的图象上．注意：函数的图象与函数解析式的关系（1）图象上每一个点的横坐标和纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一组对应值．（2）以自变量的一个值和函数y的对应值为坐标的点必定在这个函数的图象上．【例6】（1）已知点(3，5)在函数y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)的图象上，则5ab的值为_________；（2）判断点A(2，3)，B(3，8)是否在函数y＝3x－1的图象上．【答案】（1）因为点(3，5)在函数y＝ax＋b的图象上，所以5＝3a＋b，所以b－5＝－3a，所以5ab＝3aa＝－13．（2）因为当x＝2时，y＝5，当x＝3时，y＝8，所以点A不在函数y＝3x－1的图象上，点B在函数y＝3x－1的图象上．【例7】小明在爬泰山的活动中，先跑步上山，累了停下来休息了一段时间后，慢慢走完剩下的路程，下面能反映小明离山顶的路程s与登山时间t关系的是()ABCDstOstOstOstO【答案】C．【变9】周大爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到公园，在公园里打了一会儿太极拳，然后跑步回家，下面能反映周大爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()ABCDyxOyxOyxOyxO【答案】C．解读七函数的三种表示方法函数的三种表示方法及优缺点表示方法定义优点缺点解析式法用含自变量x的式子表示函数y的方法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系，能够进行精确计算求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，不好作函数变化趋势分析．列表法把一系列自变量值x与对应的函数值y列成一个表格来表示函数关系的方法一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系，对函数计算和分析的作用都欠缺．图象法用图象来表示函数关系的方法能直观形象地表示函数关系，能从总体上分析函数变化趋势观察图象只能得到近似的数值，不能精确计算【例8】一水箱中有水500L，现在往外放水，每分钟放水50L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量(单位：L)与放水时间t(单位：min)的对应关系．【答案】（1）解析式法：解析式为y＝500－50t(0≤t≤10)．（2）列表法：t/min012345678910y/L500450400350300250200150100500（3）图象法：图象如图所示．5012345678910100200250450400500300350y＝500-50tOt/miny/L【变10】科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关，当气温是0℃时，音速是331米/秒；当气温是5℃时，音速是334米/秒；当气温是10℃时，音速是337米/秒；气温是15℃时，音速是340米/秒；气温是20℃时，音速是343米/秒；气温是25℃时，音速是346米/秒；气温是30℃时，音速是349米/秒．（1）请你用表格表示气温与音速之间的关系；（2）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪一个是因变量？（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少？（4）能否用一个式子来表示两个变量之间的关系？【答案】解：（1）填表如下：x(℃)051015202530y(米/秒)331334337340343346349（2）两个变量是：传播的速度和温度；温度是自变量，传播的速度是因变量；（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是：352米/秒；（4）根据表格中数据可得出：温度每升高5℃，传播的速度增加3，当x＝0，y＝331，故两个变量之间的关系为：y＝331＋35x．探究利用函数解决实际问题【例】有一风景区集体门票的收费标准是10人以内(包括10人)每人20元，超过10人的部分每人15元．设游览人数为x，应收门票费为y元．（1）应收门票费y可以看成游览人数x的函数吗？若可以，你能用式子表示这种函数关系吗？若不可以，请说明理由．（2）现七（3）班有55人去该景区游览，那么门票费为多少元？【答案】（1）应收门票费y可以看成游览人数x的函数．当游览人数在10人以内(包括10人)时，函数解析式y＝20x(x≤10)；当游览人数超过10人时，函数解析式为y＝15