2010年数学三真题详解

每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。2010年数学三真题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。(1)若11lim1xxaexx，则a等于(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设12,yy是一阶线性非齐次微分方程()()ypxyqx的两个特解，若常数,使11yy是该方程对应的齐次方程的解，则()(A)11,22(B)11,22(C)21,33(D)22,33(3)设函数(),()fxgx具有二阶导数，且()gx小于零，0()gxa是()gx的极值，则()fgx在0x的极大值的一个充分条件是()(A)()0fa(B)()0fa(C)()0fa(D)()0fa(4)设12010()ln,(),()fxxgxxhxe，则当x充分大时有()(A)()()()gxhxfx(B)()()()hxgxfx(C)()()()fxgxhx(D)()()()gxfxhx(5)设向量组Ⅰ：12,,r，可由向量组Ⅱ：12,,r，线性表示，下列命题的是(A)若向量组Ⅰ线性无关，则rs(B)若向量组Ⅰ线性相关，则rs(C)若向量组Ⅱ线性无关，则rs(D)若向量组Ⅱ线性相关，则rs(6)设A为4阶实对称矩阵，且20AA，若A的秩为3，则A相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110(7)设随机变量的分布函数001()01211xxFxxex，则1Px每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。(A)0(B)12(C)112e(D)11e(8)设1()fx为标准正态分布的概率密度，2()fx为1,3上的均匀分布的概率密度，若12(),0()(),0afxxfxbfxx(0,0)ab为概率密度，则a，b应满足：(A)234ab(B)324ab(C)1ab(D)2ab二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设可导函数()yyx由方程2200sinxyxxedxxtdt确定，则0xdydx=______.(10)设位于曲线21()(1ln)yexxx下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.(11)设某商品的收益函数为()Rp，收益弹性为31p，其中p为价格，且(1)1R，则()Rp=______.(12)若曲线321yxaxbx有拐点(1,0)，则b=______.(13)设A，B为3阶矩阵，且||3A，||2B，2||2AB，则1||AB______.(14)设12,,,nxxx为来自整体2(,)(0)N的简单随机样本，统计差211nitTxn则ET=______.三、解答题：15-23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限11lnlim(1)xxxx(16)(本题满分10分)计算二重积分3()Dxydxdy，其中D由曲线21xy与直线20xy及20xy围成(17)(本题满分10分)求函数2Mxyyz在约束条件22210xyz下的最大值和最小值(18)(本题满分10分)(Ⅰ)比较10lnln(1)nttdt与10lnnttdt(1,2,)n的大小，说明理由(Ⅱ)设10lnln(1)nnnMMttdt(1,2,)n求极限limnxM(19)(本题满分10分)设函数()fx在0,3上连续，在0,3内存在二阶导数，且每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。022(0)()(2)(3)ffxdxff，(Ⅰ)证明：存在(0,2)使()(0)ff.(Ⅱ)证明存在(0,3)，使()0nf解1、利用中值定理2、利用两次罗尔定理可得(20)(本题满分11分)设11010,1111aAb已知线性方程组Axb存在两个不同的解(Ⅰ)求,a(Ⅱ)求方程组Axb的通解.(21)(本题满分11分)设0141340Aaa，正交矩阵Q使得TQAQ为对角矩阵，若Q的第1列为1(1,2,1)6T，求,aQ(22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)XY的概率密度为2222(,)xxyyfxyAe，x，y，求常数A及条件概率密度(|)xfyx(23)(本题满分11分)箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机的取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。(Ⅰ)求随机变量(,)XY的概率分布；(Ⅱ)求cov(,)XY(1)详解:1111limlim1limlim11xxxxxxxxxeaeeaeaeaxxxx，因此2a，选C(2)根据已知有11()()yypxqx，22()()yypxqx。于是将12yy和12yy分别每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。代入方程左边得1212()()()()()yypxyyqx1212()()()()()yypxyyqx12yy为方程解1，12yy为其次方程解0，解得12，选A(3)根据已知得0()0gx，0()0gx。因此000()()()0xxfgxfgxgx故要想0x为()fgx的极大值点，只需0()0xxfgx即可。即0200000()()()()()()()0xxfgxfgxgxfgxgxfagx。因此只需()0fa。选B(4)详解:/10()()1limlim0()()10rxxgxgxehxhx，101010101010()(())(ln)1limlimlimlim100()(())xxxxfxfxrrsgxgxxx。因此()()()fxgxhx，选C(5)详解:先A，如果rs则向量组Ⅰ一定线性相关。选项B、D反例：向量组Ⅰ为(1,0)、(2,0)，向量组Ⅱ也为(1,0)、(2,0)。选项C反例向量组Ⅰ为(1,0)、(2,0)，向量组Ⅱ(1,0)(6)根据已知，方阵A的特征值应满足20，即0或1。又()3rA。因此A的特征值为0(一重)和1(三重)。故A相似于1110，选D(7)详解:1111(1)(1)(10)122PXFFee，选C(8)根据密度函数的性质，012031()()()24abfxdxafxdxbfxdx，因此234ab，选A(9)详解:2200sinxyxredtxtdt两边对x求导得2()220(1)sinsinxxyeytdtxx代入0x得21000(1|)01||1yxxxeyyy(10)详解:体积22(1ln)eeVydxdxxx，（做变量替换xe）=212211arctan(1)(1)4edtedtterer每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。(11)由已知条件31RPPPR，即32()11RPPPRPP（分离变量）两边同时积分有31lnln3PRPC，即31n3PPCR所以有3333,rrRCeRCPeP，再有条件(1)1R，代入，得13Ce所以313()PRPPe(12)根据条件得1|0xy，1|0xy。其中62yxa。于是得到方程110620aba，解得3ab(13)详解:注意到111()ABAAABB，因此1111||||||||322ABAABB＝3(14)详解:2222()iiiEXDXEX，因此222222111111()nniiiETEEXEXnnnn(15)详解:1ln1limlimlim0xxxxxxLPxxlim(1)1xx1lim0lnxx210lnlim()(1)1xxxxx(16)详解:画图有该区域Ｄ关于x轴对称，令区域Ｄ在第一象限的区域为1D12332233232113202()(33)(3)2(3)(3)DDDDyyxydxdyxxyxyyxxydxdyxxydxdyxxydxdy则有2114220232()42yxxxydy1420912(2)44yydy15309212()2034yyy1415(17)详解:令222(,,)2,(,,)10ufxyzxyyzxyzxyz构造辅助函数222(,,,)(,,)(10)Fxyzfxyzxyz，每学期末写工作总结时,我都要写上这样一句话:“以忠诚于党的教育事业为准则”。如何做到“忠诚”呢?我想应该是：圆满完成教学任务，工作成绩突出。如何使自己在教育竞争的大潮中百战百胜，永站前列呢?我觉得应该是进行教育科学研究。求解下列方程组：0Ffxxx0Ffyyy0Ffzzz(,,)0Fxyz解得52时点(1,5,2)和点(1,5,2)52时点(1,5,2)和点(1,5,2)将得到的4个点代入(,,)ufxyzxyzyz中可得：(1,5,2)55,(1,5,2)55ufuf(1,5,2)55,(1,5,2)55ufuf可知函数在条件2220xyz下的最大值为55，最小值为55(18)详解:（1）由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函在区域内的大小即可即比较|ln|[ln(1]ntt和|ln|tt的大小在（0,1）区间上ln0t所以上边两式变为12(ln)[ln(