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1实数基本定理的相互证明袁文俊(广州大学数学与信息科学学院院,广东广州510405)【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。【关键词】实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛。【中图分类号】O174.5【文献标识码】A1.引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的,特别是可通过这部分内容的学习与钻研,培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。2.实数基本定理的陈述定理1(确界原理)非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。定理2(单调有界原理)任何单调有界数列必有极限。定理3(Cantor区间套定理)若]},{[nnba是一个区间套,则存在唯一一点,使得,2,1],,[nbann。定理4(Heine-Borel有限覆盖定理)设],[ba是一个闭区间,为],[ba上的一个开覆盖,则在中存在有限个开区间,它构成],[ba上的一个覆盖。定理5(Weierstrass聚点原理)直线上的有解无限点集至少有一个聚点。定理6(Bolzano致密性定理)有界无穷数列必有收敛子列。定理7(Cauchy收敛准则)数列}{na收敛对任给的正数,总存在某一个自然数N,使得Nnm,时,都有||nmaa。定理8(Dedekind准则,或称实数连续性定理)设序对(A,A)为R的一个分划,则或者A有最大元,或者A有最小元。由于多数教材中Dedekind分划定理是作为选学内容,因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证,而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。限于篇幅,对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy收敛准则的必要条件,Cantor区间套定理中点的唯一性证明,数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明,读者若有兴趣,可以自己给出或可参见文献([3],[4])等。我们注意到,实数完备性基本定理等价性的互证,几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明,为了开阔视野,加深对这部分内容的理解,我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。作者简介:袁文俊(1957-),男,教授,理学博士,主要从事函数论及其应用的教学与研究。基金项目:教育部重点资助项目的子项目(03A08);广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。23.定理1到定理7的互证(1)定理1定理2(确界原理单调有界原理)证不妨设}{nx为单增有上界数列,即0M,n,有Mxn。记}|{nxEn,则由确界原理知E有上确界,不妨记为,则REsup,从而0,N使得Nx成立。因为}{nx是单调递增数列,所以Nn,有nNxx。故)(,nxn。(2)定理1定理3(确界原理Cantor区间套定理)证因为],[],[11nnnnbaba,所以1221bbbaaann。则显然数列}{na、}{nb皆为有界数列,且每个nb都是na的上界,每个na都是nb的下界所以由确界原理知,}{supnNna使得nnbaa,}{supnNnbb使得nnbba。所以||||nnbaba。又因为0)(nnab,所以ba。记ba则即有R使得],[nnba。假设还有另外一点R且],[nnba,则||||nnba,0即。从而唯一性得证。(3)定理1定理4(确界原理Heine-Borel有限覆盖定理)证设是有闭区间],[ba的任一开覆盖。令],[|{cacE可以被有限覆盖,]},[bac。因为UaaUbaa,)(],,[,所以)(aU必含有],[ba中的点ax,即)(aU覆盖],[xa。即E,且有上界b。由确界原理知,bcRcEc且,sup。下面证明Ec:为此取开区间),(,),(c,故Ex使cxa,),(x。由于],[xa有有限覆盖,故添上),(,],[ca仍有有限覆盖,从而Ec。现证bc:若bc,因c,故),,(),(bccx则Ex。这与c是E的上确界矛盾,故bc。(4)定理1定理5(确界原理Weierstrass聚点原理)证设S是直线上的有界无限点集,则由确界原理有SSinf,sup。若,中有一点不是S的孤立点,则显然就是S的一个聚点。否则,令SRxE{:中仅有有限个数小于}x。显然E非空且有上界。令Esup,则由E的构造方法可知,0必有E,即S中有无限个数小于大于。所以),(中含有S的无限个数,故是S的聚点。(5)定理1定理6(确界原理Bolzano致密性定理)证设}{nx是有界无穷数列,则由(4)的证明可知,}{nx有聚点。再由聚点的等价定义可知,在}{nx中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。(6)定理1定理7(确界原理Cauchy收敛准则)证设}{nx为Cauchy基本列,则,,0,0NnmN有mnxx。易证}{nx为有界列。由确界原理可知,}inf{},sup{nnxx。3Case(1)若max{}nx或者min{}nx。不妨设min{}nx则0,N使得nx。设12k,则必1()kkknnn使得12knkx。令k,则knx。即0,0K使得当kK时,有||knx。由于}{nx为Cauchy基本列,所以10,max{,}NNK使得1nN有||||||2kknnnnxxxx。故)(,nxn。。Case(2)若max{}nx且min{}nx,则令{}nEx,1{max,min}EEEE。若1E有Case(1)的条件,则可知{}nx收敛。否则令211{max,min}EEEE。依次递推,若NE有Case(1)的条件成立,则可知}{nx收敛。否则nN,NE有最大最小值,则得两个数列{}na,minnnaE和{}nb,maxnnbE。其中{}na单增、{}nb单减且都有界。记sup{}naa,则0,02N,使得2nN,有aaaanN2。所以0},max{,023NNN,使得3Nn有233aaaxaxNNnn。故当n时}{nx收敛。(7)定理2定理1(单调有界原理确界原理)证设S是非空有上界集合,不妨设S中有一个正数。现构造函数列:Step(1)由于S有上界,所以S中的数必有一个最大的整数部分,记为0e。记集合}][{00exSxE,则0xE,有001exe。Step(2)设0E中各数的一位小数中最大是为1e。记集合1001{|[()10]}ExExee,则1xE,有0101110eexee。Step(n)设1nE中第n位小数中最大的为ne记集合1{|nnExExn的第位数为}ne,则4nxE,有01011nneeexeee从而得到一数列记为}{nx其中01nnxeee,且}{nx单增有上界,故由单调有界原理知}{nx收敛。不妨记为exnnlim,n有01neeee,所以e为S的一个上界。现证supeS:因为0,0N使得nN有exen,即nnxeSx,。所以由上确界定义知supeS。(8)定理2定理3(单调有界定理Cantor区间套定理)证因为11[,][,]nnnnabab,所以有1221nnaaabbb从而可见数列{}na单增有上界,数列{}nb单减有下界故由单调有界定理可知Ra使得aannlim,Rb使得bbnnlim。且nN有,naanN有nbb,所以,[,]nnabab,于是成立nnabab0。又因为0)(limnnnab,所以ab。记ab,从而存在性得证。(9)定理2定理4(单调有界原理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法)假设闭区间[,]ab有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖。Step(1)将[,]ab等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为11[,]ab,则11[,][,]abab;Step(2)将11[,]ab等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为22[,]ab,则2211[,][,]abab;Step(n)将11[,]nnab等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为[,]nnab,则11[,][,]nnnnabab;由此可得一个区间套{[,]}nnab且满足2nnnbaba。(3.1)所以{}na为单增有上界数列,{}nb为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知12,R使得1limnna,2limnnb。由(3.1)易知,12。从而UU),(,NnN,0,有UUbann),(],[,这与],[nnba具有性5质P矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。(10)定理2定理5(单调有界原理Weierstrass聚点定理)证设E是直线上的有界无限点集。容易证明结论一:若E无最大数,则从E中去掉任意有限点集F所得无限点集仍然无最大数。现在我们从E中挑选单调数列如下:Case(1)当E无最大数时,由结论一知,对于Ex1,}{\12xEx使21xx;因},{\21xxE仍然是无最大数的无限集,由结论一知,},{\213xxEx使32xx;此过程可以无限继续下去,于是就从E中找到了一个单调递增数列}{nx。Case(2)当E有最大数1x时,考察}{\1xE,若它无最大数,则由Case(1)讨论可得一个单调递增数列;若}{\1xE有最大数2x,显然有21xx;此过程可以无限继续下去,于是就从E中找到了一个单减数列}{nx或单增数列。由单调有界原理知,从E中挑选单调数列}{nx有极限a。再由聚点的等价定义知,E至少有一个聚点a。(11)定理2定理6(单调有界原理Bolzano致密性定理)证设}{nx为一有界无穷点列,则对(10)的证明做点技术性处理,就是保证挑选的数列构成}{nx的子列即可。事实上因为每个},,{\}{1knnnxxx都含有}{nx的无限多项,所以必存在kknnnnnknnnxxxxxExkkkk1,},,,{\}{:111,如果kE无最大数。(12)定理2定理7(单调有界原理Cauchy收敛准则)证设}{nx为一Cauchy基本列,则易证}{nx有界,由(10)和(11)的证明可知存在}{nx的一个子列}{knx单调且有界,由单调有界原理可知,}{knx有极限x。参照的证明就知道}{nx收敛。(13)定理3定理l(Cantor区间套定理确界原理)证明:设S是有上界集合,不妨设b是的一个上界,取aS构造区间[,]ab,定义性质:P闭区间E满足11,xExS且22,xExS。仿(9)的证明对[,]ab按性质P,用二等分法,可以构造出区间套]},{[nnba,其中每个nb为S的上界。由Cantor区间套定理知存在唯一的[,]nnab且为}{nb的一个下界为}{na的一个上界,使得0,0,N当nN时,有),(],[Ubann。故0,()maSmN使得ma,故为S的上确界。(14)定理3定理2(Cantor区间套定
本文标题:实数基本定理的相互证明
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