经典高等数学课件D12-3幂级数(1)

1复习：常数项级数的审敛法1.任意项级数的审敛法(3)性质法.(4)利用重要级数.(2)lim0nnu1nnu发散.(1)定义法：1(5)nnu收敛1.nnu收敛1(6)()nnu发散比值法或根值法1.nnu发散11nnnnuu发散发散limnns存在(不存在)常数项级数收敛(发散)22.正项级数的审敛法(2)比值法(1)比较法(3)根值法1nnu设和均为正项级数.1nnv),(Nnkvunn(常数k0)；limnnnulv1limnnnuulimnnnu若大的收敛，则小的也收敛；若小的发散，则大的也发散.1)当12)当1时,收敛;或时,发散.3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法)11(1)nnnu(i)nu｛｝单调递减(ii)lim0.nnu11(1).nnnu收敛000)(nu3第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章4一、函数项级数的概念1.定义：为定义在区间I上的函数项级数.记为.)(1nnxu即)()()()(211xuxuxuxunnn例如：0nnx级数nxxxsin2sinsin级数21xx1sin.nnx定义在的级数(,)123(),(),(),,(),nuxuxuxuxI设是定义在区间上的5对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.2.收敛点与收敛域:201nnxxx(,1][1,).例如级数收敛域为(－1,1);发散域为注意：函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.0x称0x称6为级数的和函数,并写成若用则余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它3.和函数:12()()()()nsxuxuxux即(定义域是?)1()1sxx)11(x如:121nxxxxxs11)(20(1)1nnnxxx)11(x7二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论0nnnax2012nnaaxaxax例如,幂级数0nnx为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称1.定义：0txx如果令,00()nnnaxx0,nnnat.即为幂级数的简单形式x称为的幂级数,82.幂级数收敛域的结构：显然，当x=0时，收敛.,120xxxnn例如级数1x当时，收敛；1x当时，发散；).,1[]1,(收敛域为发散域为22100xaxaaxannn01(1,1)1nnxxx即时，有和函数11x由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间.这个结论对于一般的幂级数也成立吗？.9定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数0nnnax在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.(2)如果级数0nnnax在0xx处发散，则它在满足不等式0xx的一切x处发散.0xx0000(1),,nnnnnnaxxxxax若在收敛当时绝对收敛.简记:0x0xo收敛0000(2),,.nnnnnnaxxxxax若在发散当时发散0x0xo发散发散10阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,11定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数0nnnax在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.(2)如果级数0nnnax在0xx处发散，则它在满足不等式0xx的一切x处发散.0xx0000(1),,nnnnnnaxxxxax若在收敛当时绝对收敛.简记:0x0xo绝对收敛0000(2),,.nnnnnnaxxxxax若在发散当时发散0x0xo发散发散12证:设收敛,则必有0(1,2,)nnaxMn于是存在常数M0,使当时,0xx收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,00nnnnnnxaxaxx00nnnxaxx如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.0xx13反之,若当0xx时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点1x10xx0x满足不等式0xx所以若当0xx满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕如果级数0nnnxa在0xx处发散，则它在满足不等式0xx的一切x处发散.如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.0xx14xRR几何说明:绝对收敛发散发散说明:000,nnnaxxx如果幂级数在处收敛则对于开区间000(,),nnnxxxax内任何都使幂级数绝对收敛00,nnnaxxx如果幂级数在处发散则在开区间000(,)(,)nnnxxxax内的任何都使幂级数发散..在原点与收敛点之间不可能有发散点因此,阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征o15推论:不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：如果幂级数0nnnxa幂级数绝对收敛；当时，Rx幂级数发散；当时，Rx当x=R与x=－R时，幂级数可能收敛也可能发散.xRR绝对收敛发散发散o16定义:正数R称为幂级数的收敛半径.xRR绝对收敛发散发散绝对收敛当时，Rx发散当时，Rx0nnnax的收敛半径为R0nnnax0nnnax),,[RR],,(RR],[RR),,(RR称为幂级数的收敛区间.),(RR称为幂级数的收敛域.,0R规定,R问题:如何求幂级数的收敛半径?(1)幂级数只在x=0处收敛时，收敛域为{0};(2)幂级数对一切x都收敛时，收敛区间为).,(o17如果幂级数的所有系数0nnnxa，0na3.幂级数收敛半径的求法：定理2.是它的相邻两项的系数且满足：1lim,nnnaalimnnna（或）则1;R;R0.R1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,0nnnax的收敛半径为说明:据此定理知1limnnnaRa1R18111llimimnnnnnnnnaxaxaxa证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当1,x原级数绝对收敛;当1,x原级数发散.即1x时,即时,1x2)若0,则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除x=0以外的一切x原级发散,0.R对任意x原级数因此因此因此级数的收敛半径1.R0nnnxa0nnnax19说明:1)注意定理的条件：幂级数的所有系数0nnnxa，0na是它的相邻两项的系数不缺项存在或为且2)定理的条件是结论的充分条件，不是必要条件.3)定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法(或根值法),该法适用于任何函数项级数.4)用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数(即不缺项的).0nnnxa0.na0(),nux20对端点x=－1,1limnnnaa的收敛半径及收敛域.解:11n1n对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.(1,1].故收敛域为例1.求幂级数limn1R0nnnxa(0)nannax是的系数.21例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)1lilimmnnnnaRa1!n所以收敛域为(,).(2)1lilimmnnnnaRa!n(1)!n0所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=11(1)!n22解:缺少偶次幂的项1()lim()nnnuxuxnnnnnxx22lim12112,212x级数绝对收敛,级数发散,2R例3.求幂级数的收敛区间及收敛域.1122nnnx,2112nnnx考虑级数应用直接法，211,2x当2x即时，211,2x当2x即时，3523222xxx级数为23,211n级数发散,因为原级数的收敛区间为(2,2).所以原级数的收敛域为:(2,2).级数为,211n级数为2x当时，2x当时，级数发散,例3.求幂级数的收敛区间及收敛域.1122nnnx24例4.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.1lim()lim()nnnnuxux2[2(1)]![(1)!]nn2[2]![!]nn22(21)(22)lim(1)nnnxn24x241x当时级数绝对收敛时级数发散故收敛半径为1.2R241x当2(1)nx2nx故直接由25例4.的收敛半径.另解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求.级数变为21(2)!(!)nnntn1limlimnnnnaRa2[2(1)]![(1)!]nn2[2]![!]nn2(1)lim(21)(22)nnnn14故收敛半径为1.2R14t214x即12x时原级数绝对收敛.26例5.解:令1,tx级数变为112nnntn1limlimnnnnaRa12nn112(1)nn12(1)lim2nnnnn2当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为22,t故原级数的收敛域为即13.x27★求收敛半径的方法总结:■幂级数中奇偶项齐全)(0nnnxa时用公式求R11(limlim)nnnnnnaRaa或■幂级数中奇偶项不齐全这时不能用以上公式求R.应该根据收敛半径的定义用直接法求R.012nnnxa如：，00)(nnnxxa■若级数为则应用代换法，.0xxt令先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.★求收敛域的方法:28小结2.幂级数的概念:1.函数项级数的概念:)()()(21xuxuxun22100xaxaaxannn3.幂级数的收敛定理:(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数0nnnax在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.0xx(2)如果级数0nnnax在0xx处发散，则它在满足不等式0xx的一切x处发散.29如果幂级数的所有系数0nnnxa，0na定理2.是它的相邻两项的系数且满足：1lim,nnnaalimnnna（或）1R作业：P2771(2)(4)(6)(8).P3237(1),(4)预习：P274-P277思考与练习1.已知处收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在2x收敛,故收敛半径为2.R302.在幂级数中,1nnaa112(1)22(1)nn