第4章-第1节-平面向量的基本概念及线性运算

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1.平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算等是高考的热点，需重点关注．2．平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的常见题型，此类题可以是选择题、填空题，也可以为中档的解答题．向量与不等式、函数、圆锥曲线渗透交汇是命题的趋势，但向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁.1.透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透是当今高考的一大热点，充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重相关知识的综合渗透．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）第一节平面向量的基本概念及线性运算考纲传真1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．(2)零向量：的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向的非零向量．平行向量又叫．规定：0与任一向量．大小方向长度(或模)长度为01个单位共线向量平行相同或相反菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)减法与互为逆运算；服从三角形法则．相等相同相等相反加法菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当时，λa与a的方向相同；当时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.λ0λ＜04．平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件()(4)若O是△ABC的重心，则OA→＋OB→＋OC→＝0()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】(1)中，“向量”和“有向线段”不同，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．(1)不正确．(2)当b＝0，a与c不一定平行，(2)错．(3)当a≠0，b＝0时，a∥ba＝λb，但a＝λb⇒a∥b，∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分条件．(3)错误．(4)根据平行四边形法则，(4)正确．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）2．(人教A版教材习题改编)化简OP→－QP→＋MS→＋QM→的结果为()A.OM→B.SM→C.PS→D.OS→【解析】OP→－QP→＋MS→＋QM→＝(OP→＋PQ→)＋(QM→＋MS→)＝OQ→＋QS→＝OS→.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）3．(2014·潍坊质检)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【解析】a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选择项易知C满足题意．【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）4．如图4－1－1，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________.图4－1－1【解析】BE→＝BA→＋AD→＋12DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.【答案】b－12a菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）5．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB→＋AD→＝AC→.又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC→＝2AO→，∴AB→＋AD→＝2AO→.又AB→＋AD→＝λAO→，∴λ＝2.【答案】2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向1平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【思路点拨】以概念为判断依据，或举反例来说明不正确．【尝试解答】①不正确．|a|＝|b|但a、b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为AB→＝DC→，A、B、C、D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法11.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练1给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义判定．③不正确．a与a0均是单位向量，a＝a0或a＝－a0.④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向2平面向量的线性运算【例2】(1)在△ABC中，若D是AB边上一点，且AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.23B.13C．－13D．－23(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【思路点拨】(1)D是AB边上的三等分点，把CD→用CA→、CB→表示；(2)由D为BC边中点可得OB→＋OC→＝2OD→，代入已知条件即可求解．【尝试解答】(1)CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.(2)因为D为BC边中点，∴OB→＋OC→＝2OD→，又2OA→＋OB→＋OC→＝0，∴2OA→＋2OD→＝0，即AO→＝OD→.【答案】(1)A(2)A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法2用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系(如本例(1)用三角形法则得到AB→＝CB→－CA→)；(4)化简结果．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练2(2013·皖北协作区高三联考)设M是△ABC所在平面上一点，且MB→＋32MA→＋32MC→＝0，D是AC的中点，则|MD→||BM→|的值为()A.13B.12C．1D．2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】因为MB→＋32MA→＋32MC→＝0，D是AC的中点，所以MB→＝－32(MA→＋MC→)＝－32·2MD→＝－3MD→.所以|MB→|＝3|MD→|，即|MD→||BM→|＝13.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能网络构建·览全局策略指导·备高考高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向3共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【思路点拨】(1)先证明AB→，BD→共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.菜单高考体验·明考情课时作