2017年江苏省专转本高数一导数计算及应用

第二章导数计算及应用本章主要知识点导数定义复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用一、导数定义函数yfx在0xx处导数定义为hxfhxfxfh)()(lim)(0000左导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000右导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000导数)(0xf存在)(),(00xfxf有限且)()(00xfxf分段点求导必须应用定义。两个重要变形：1.0000()())limxxfxfxfxxx（2.若)(0xf存在，)()()()(lim0000xfnmhnhxfmhxfh例2.1.若(1)2f，求00(12)(5)limhfhfxhh解：00(12)(5)limhfhfxhh＝(25)(1)14f例2.2.若(0)2,(0)0,ff求0(2)lim1sin(3)1xfxx-24-解：0(2)lim1sin(3)1xfxx＝00(2)(0)(2)(0)48lim2lim(0)1333sin32xxfxffxffxx例2.3．23,0()2,0xxxfxxxx求(0)f解：200(0)(0)0(0)limlim1hhfhfhhfhh300(0)(0)2(0)limlim2hhfhfhhfhh(0)(0)ff所以'(0)f不存在.例2.4．||()2xfx，求0f解：2,0()2,0xxxfxxln20000(0)(0)211ln2(0)limlimlimlimln2hhhhhhfhfehfhhhh00(0)(0)21(0)limlimln2hhhfhffhh所以(0)f不存在。例2.5．21sinsin,0()0,0xxxfxxx求0f。解：2001sinsinh1(0)limlimsinhhhhfhh不存在所以0f不存在例2.6．如果12f，分析函数2(1)(13),0ln(1)()0,0(1)(12),01xfxfxxxfxxfxfxxe在x=0处的连续性。-25-解：(00)f0(1)(12)lim2hfhfhh13(1(2))(1)(1)322ff(00)f00(1)(13)(1)(13)limlim4(1)8ln(1)hhfhfhfhfhfhh所以f(x)在x=0处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例2.7．1sin(cos)xye由外及里y分为四层：1sincosex例2.8．lnsin2yxxy分为一层：例2.9．32sinsintanyxxy分为三层：立方sinx例2.10．2sin(ln21yxxy分为四层：sinln化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘”。例2.11．sin32xxy，求y，解：sin22ln2sin3xxyxxsin32ln2sin3sin3xxxxxx-26-sin32ln2sin3cos33xxxxxsin32ln2sin33cos3xxxxx例2.12．arctan(sin2)xye，求y；解：arctan(sin2)22cos21sin2xxyex例2.13．2sinxyxe，求y；解：22sinsin()xxyxexe22sinsin21cos()22xxexexxx2sin21(2cos)2xexxxx例2.14．22sin(ln21)yxx，求y解：222122sin(ln(21))cos(ln(21))(2)21221yxxxxxxxx2211sin2ln2122121xxxxxx分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。例2.15．33,0,0xxxfxxxx，求fx解：2231,031,0xxfxxx30000limlim1hhfhfhhfhh30000limlim1hhfhfhhfhh(0)1f，-27-综合得，2231,01,031,0xxfxxxx。例2.16.2xafx，求fx解：2,()1,2,xaaxxafxxaxa2ln2,()2ln2,xaaxxafxxa0021limlimln2hhhfahfafahh，0021limlimln2hhhfahfafahh所以fa不存在。例2.17.已知21sinsin,000xxxfxxx，（1）求fx；（2）研究fx在0x处的连续性。解：（1）221112sincoscosfxxxxxxx，112sincoscosfxxxxx0x20001sinsinh010limlim1limsin1hhhhfhfhfhhhh。（2）00011limlim2sinlimcos1xxxfxxxx001lim1limcosxxfxx，不存在，故fx在0x处不连续，且为II类间断。-28-3.高阶导数与微分（1）高阶导数22dyddyydxdxdx，1nndyydx几个常用公式（1）11!1nnnnnaaxbaxb（2）sinsin2nnxx（3）coscos2nnxx（4）nxnxee（5）莱伯尼兹公式0nniniiniuvcuv例2.18.2xyxe，求0y解：222xxyexe212xyex22122xxyexe244xyex(0)4y例2.19.2xyxe，求10y-29-解：10102100iniixiycxe1022090xxxyxexee例2.20．2121xxy，求ny解：2121xxy212215212xxxx112152521xx112152521nnnyxx1111!12255221nnnnnnnxx！例2.21．12lnxy，求ny解：221yx11211!221nnnnnyx1121!,221nnnnnx例2.22．xxf2cos，求500f解：22cos1cos2xxxf12cos222nnnfxx22cos21nxn(50)4949(0)2cos(25)2f例2.23．sin5cos2fxxx，求()nfx解：1sin7sin32fxxx-30-117sin73sin32222nnnnnfxxx（2）一阶微分定义：对于函数)(xfy，如果存在常数A，使得：00()()()fxxfxAxox0x则称)(xf在0xx处可微。成立：xf在0xx可导可微，且0()dyfxdx。dyfxdx可作为微分求解公式。例2.24．sin2yxx，求2|xdy解：sin22cos2yxxx()sincos2y()2dyydxdx。例2.25．xxy2sin，求dy。解：22cos2sin2xxxyx，22cos2sin2xxxdydxx例2.26．222,0()sin,0xxexfxxxx，求0|xdf解：0()(0)(0)limhfhffh2220lim0hhheh，00()(0)sinh0limlim0hhfhfhfhh，故(0)0f，所以0|00xdydx。-31-例2.27．利用微分近似计算0.05e。解：令xexfxx)(,0,05.00，则000.0500'()xxxeeefxx=05.105.011。4、求导中若干特别问题（1）奇偶函数导数结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。例2.28．f（x）为奇函数，(2)5,(5)(5)ff。例2.29．f(x)为可导函数，则()()fxfx的导数为（偶函数）。（2）1lndxdxx221(ln())xxaxa（3）()()|()|,(mnfxxaxan为奇），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1.例2.30．23()(23)|(3)(1)|fxxxxx导数最大阶数为（1阶）。（4）()ln()(())()()(ln)vxvuvxvuuxeuxvuu例2.31．(sin),xyx求y解：(sin)(lnsincot)xyxxxx（5）符号型求导例2.32.2(())yffx,求y。解：22(()))2(yffxxfx-32-三、隐函数、参数方法求导1．隐函数求导由方程(,)0Fxy确定的函数()yyx，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。例2.33．由2sin(32)yxyexyx确定隐函数()yyx，求dxdy。解：方程两边对x求导得22cos(32)(32)1yyxyyeyxyy213cos(32)22cos(32)yyxyyxyexy例2.34．由方程2sin21xyy确定隐函数yyx,求yy,.解：2sin21xyy方程两边对x求导，得：cos2220xyyyy（*）y=)2cos(2)2cos(2yxyyx，（*）式再对x求导，得：22sin22cos2220xyyxyyyyy22222sin2224sin24cos22cos22cos2xyyyyxyxyyyxyyxy例2.35．已知yyx由方程(1)2xxyxyexee确定，求(0)y.解：将0x代入(1)2xxyxyexee，得到3y。-33-方程两端对x求导，得(1)2xxxyxyxeyyeexeyxye，22(1)xxxyxyxxyeyeexyeyexe，0y22111。2．参数方程求导问题：)()(tyyt