坐标系与参数方程练习(含答案)

坐标系与参数方程（巩固训练）1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.2.(2016·合肥二模)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsinθ+ρcosθ=m.(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系.(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.3.(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.4.(2016·安庆二模)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.5.(2016·郑州二模)平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.以O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.6.(2016·武汉二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos(a0).(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ2π).(2)若直线l与C2相切,求a的值.7.(2016·哈尔滨一模)在直角坐标系xOy中,直线l的方程是y=8,圆C的参数方程是(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.资*源%库(1)求直线l和圆C的极坐标方程.(2)射线OM:θ=α与圆C交于O,P两点,与直线l交于点M,射线ON:θ=α+与圆C交于O,Q两点,与直线l交于点N,求·的最大值.8.已知参数方程为(t为参数)的直线l经过椭圆+y2=1的左焦点F1,且交y轴正半轴于点C,与椭圆交于两点A,B(点A位于点C上方).(1)求点C对应的参数tC(用θ表示).(2)若|F1B|=|AC|,求直线l的倾斜角θ的值.9.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C.(1)写出Γ的参数方程.(2)设直线l:3x+2y-6=0与曲线C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.10.已知曲线C1的参数方程为(θ参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程.(2)求C1与C2交点所在直线的极坐标方程.11.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)判断曲线C1与曲线C2的位置关系.(2)设点M(x,y)为曲线C2上任意一点,求2x+y的最大值.12.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10.曲线C1:(α为参数).(1)求曲线C1的普通方程.(2)若点M在曲线C1上运动,试求出M到曲线C的距离的最小值.坐标系与参数方程（巩固训练）答案1、(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在.记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:=,即=,整理得k2=,则k=±.2、(1)曲线C的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;直线l的直角坐标方程为:x+y=0,圆心C到直线l的距离d===r,所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得:圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.3、(1)由得+y2=1.(2)由题意,可设点P的直角坐标为,因为C2是直线,所以的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.4、(1)当α=时,直线l的普通方程为x=-1;当α≠时,直线l的普通方程为y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=-,故直线l倾斜角α为或.5、(1)曲线C的普通方程为:(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x,即ρ2=2ρcosθ,即曲线C的极坐标方程为:ρ=2cosθ.直线l的参数方程为(t为参数).(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,t2+(m-)t+m2-2m=0.所以t1t2=m2-2m,由题意得|m2-2m|=1,得m=1,1+或1-.6、(1)曲线C1的普通方程为y=x2,x∈[-,],直线l的普通方程为x+y=2,联立解得或(舍去),故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为.(2)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax-2ay=0,即(x+a)2+(y-a)2=2a2(a0),由直线l与C2相切,得=a,故a=1.7、(1)直线l的极坐标方程是ρsinθ=8.圆C的普通方程是x2+(y-2)2=4,所以圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ.(2)依题意得,点P,M的极坐标分别为和所以|OP|=4sinα,|OM|=,从而==.同理,=.所以·==·==,故当α=时,·的值最大,该最大值是.8、(1)在椭圆+y2=1中,因为a2=3,b2=1,所以c==,即F1(-,0),故x0=-,在直线l的参数方程中,令x=0,解得tC=.(2)方法一:把代入椭圆方程,并整理得:(1+2sin2θ)t2-2tcosθ-1=0,设点A,B对应的参数为tA,tB,由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得:tA+tB=tC,即=,解得sin2θ=,依题意知θ∈,所以θ=.方法二:设A,B两点的横坐标分别为xA,xB,将直线l的普通方程y=tanθ(x+)代入椭圆方程并整理得:(1+3tan2θ)x2+6tan2θx+6tan2θ-3=0,则xA+xB=-,因为|F1B|=,|AC|=,所以xA+xB=-=-,解得tanθ=±,依题意知θ∈,得θ=.9、(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上点(x,y).om依题意,得即由+=1,得+=1,即曲线Γ的方程为+=1.故Γ的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为.所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,得4ρcosθ-6ρsinθ+5=0.10、(1)由消去θ得:(x-3)2+(y-4)2=16,即x2+y2-6x-8y+9=0,将x=ρcosφ,y=ρsinφ代入得极坐标方程为ρ2-6ρcosφ-8ρsinφ+9=0.(2)由ρ=4sinθ得C2的普通方程为:x2+y2-4y=0,由得:6x+4y-9=0,所以C1,C2的交点所在直线的方程为6x+4y-9=0,所以其极坐标方程为:6ρcosθ+4ρsinθ-9=0.11、(1)消去t得C1的方程为x+y-1=0.由ρ=2cos得ρ=cosθ-sinθ,所以ρ2=ρcosθ-ρsinθ,即x2-x+y2+y=0,化为标准方程为+=1,所以d==1,故曲线C1与曲线C2相交.(2)由M(x,y)为曲线C2上任意一点,可设则2x+y=+2cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),所以2x+y的最大值是+.12、(1)曲线C1的普通方程是:+=1m(2)曲线C的普通方程是:x+2y-10=0,设点M(3cosα,2sinα),由点到直线的距离公式得d==|5cos(α-φ)-10|,其中cosφ=,sinφ=,所以α-φ=0时,dmin=,此时M.