(含答案)-《参数方程》练习题

《参数方程》练习题一、选择题：1．直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与(,)Pab之间的距离是（C）A．1tB．12tC．12tD．122t2．参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（D）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线112()3332xttyt为参数和圆2216xy交于,AB两点，则AB的中点坐标为（D）A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)4．把方程1xy化为以t参数的参数方程是（D）A．1212xtytB．sin1sinxtytC．cos1cosxtytD．tan1tanxtyt5．若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于（C）A．2B．3C．4D．56.直线003sin201cos20xtyt(t为参数)的倾斜角是()A.200B.700C.1100D.1600二、填空题：7．曲线的参数方程是211()1xttyt为参数,t0，则它的普通方程为_2(2)(1)(1)xxyxx____8．点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为_____22______。9．已知曲线22()2xpttpypt为参数,为正常数上的两点,MN对应的参数分别为12,tt和，120tt且，那么MN=______14pt___10．直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_____6或56__________。11.设曲线C的参数方程为2x=ty=t（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为__2cossin0_____.三、解答题：12．已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）设圆的参数方程为cos1sinxy，22cossin15sin()1xy51251xy（2）cossin10xyaa(cossin)12sin()1421aa13.分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数；1．解：（1）当0t时，0,cosyx，即1,0xy且；当0t时，cos,sin11()()22ttttxyeeee而221xy，即2222111()()44ttttxyeeee（2）当,kkZ时，0y，1()2ttxee，即1,0xy且；当,2kkZ时，0x，1()2ttyee，即0x；当,2kkZ时，得2cos2sinttttxeeyee，即222cossin222cossinttxyexye得222222()()cossincossinttxyxyee即22221cossinxy。14．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积。解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt122tt，则点P到,AB两点的距离之积为215.过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,MN，求PMPN的最大值及相应的的值。解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得223(1sin)(10cos)02tt,则122321sinPMPNtt所以当2sin1时，即2，PMPN的最大值为32，此时0。16.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为4,2，直线l的极坐标方程为a)4cos(，且点A在直线l上。（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为)(sin,cos1为参数aayax，试判断直线l与圆C的位置关系.【解析】（Ⅰ）由点(2,)4A在直线cos()4a上，可得2a所以直线l的方程可化为cossin2从而直线l的直角坐标方程为20xy（Ⅱ）由已知得圆C的直角坐标方程为22(1)1xy所以圆心为(1,0)，半径1r以为圆心到直线的距离212d，所以直线与圆相交17.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为3cossinxaya.（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2π），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：（１）把极坐标下的点)2,4(化为直角坐标得：)4,0(P又点Ｐ的坐标满足直线方程，所以点Ｐ在直线l上。（２）因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为)cos,sin3(，从而点Ｑ到直线l的距离为24)6cos(22|4sincos3|d22)6cos(2，因此当1)6cos(时，d去到最小值，且最小值为2。18.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。【解析】（Ⅰ）由25sin得22250,xyy即22(5)5.xy（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23240,tt由于2(32)4420，故可设12,tt是上述方程的两实根，所以121232,(3,5),4ttlPtt又直线过点故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=32。19.已知直线C1x1tcossinyt（t为参数），C2xcossiny（为参数），（Ⅰ）当=3时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。(23)解：（Ⅰ）当3时，1C的普通方程为3(1)yx，2C的普通方程为221xy。联立方程组223(1)1yxxy，解得1C与2C的交点为（1,0）1322，。（Ⅱ）1C的普通方程为sincossin0xy。A点坐标为2sin,cossin，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：21sin21sincos2xy为参数,P点轨迹的普通方程为2211416xy。故P点轨迹是圆心为104，，半径为14的圆。22.已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,,,ABCD的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围。【解析】（1）点,,,ABCD的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,,,ABCD的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)Pxy；则002cos()3sinxy为参数2222224440tPAPBPCPDxy25620sin[56,76]21.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos()22.4()求1C与2C的交点的极坐标；()设P为1C的圆心，Q为1C与2C的交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为33,().12xtatRbyt为参数求,ab的值。【解析】()由22,cos,sinxyxy得，圆1C的直角坐标方程为22(2)4xy，直线2C的直角坐标方程分别为40xy由22(2)4,40.xyxy解得12120,2,4,2,xxyy所以圆1C，直线2C的交点直角坐标为(0,4),(2,2)再由22,cos,sinxyxy，将交点的直角坐标化为极坐标(4,),(22,)24所以1C与2C的交点的极坐标(4,),(22,)24()由()知，点P，Q的直角坐标为(0,2),(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为20xy①由于直线PQ的参数方程为33,().12xtatRbyt为参数消去参数122babyx②对照①②可得1,212.2bab解得1,2.ab22.已知曲线C1的参数方程为45cos,55sin,xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【解析】将tytxsin55cos54消去参数t，化为普通方程25)5()4(22yx,即1C：01610822yxyx.将sincosyx代入01610822yxyx得016sin10cos82.（Ⅱ）2C的普通方程为0222yyx.由020161082222yyxyxyx，解得11yx或20yx.所以1C与2C交点的极坐标分别为)4,2(，)2,2(23.已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxttyt为参数上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程.（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【解析】（1）依题意有2cos,2sin,2cos2,2sin2,PQ因此coscos2,sinsin2M.M的轨迹的参数方程为coscos2sinsin2xy2为参数，0（2）M点到坐标原点的距离2222cos,02dxy.当时，0d，故M的轨迹过坐标原点.24.已知曲线1C：2cos22sinxy（为参数），M是1C上的动点，P点满足2O