锐角三角函数和解直角三角形公开课

锐角三角函数和解直角三角形•知识考点•对应精练•考点分类一锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义：若在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=.1.在△ABC中，∠C=90°，AB=1.5，BC=1.2，则sinB的值为()A.B.C.D.3.如图22-1，在6×3的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ABC的值为()A.B.C.D.AD2．(2013·鞍山)如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝0.8，则AC＝()A．5B．6C．8D．10A小结：1.数形结合，牢记定义；2.相等的角的三角函数值相等；3.锐角三角函数的定义是在直角三角形中给出的。锐角三角函数和解直角三角形•考点分类二特殊角的三角函数值：4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为()A.B.C.D.15.tan245°+sin45°+cos45°的值等于()A.1B.C.D.CC小结：特殊角的三角函数值要牢记。锐角三角函数和解直角三角形•考点分类三解直角三角形的定义解直角三角形的定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系：c2=a2+b2；(2)两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝.锐角三角函数和解直角三角形6.(2014•济宁)如图22-2，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为．7.(2014•甘孜州)如图22-3，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．(结果保留根号)解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△ABC中，tanA=tan30°=，即，解得：BC=2(+1)．小结：不是直角三角形的要充分利用条件构造直角三角形。锐角三角函数和解直角三角形•考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平宽度的比叫坡度(或坡比)，即，坡面与水平面的夹角α叫坡角．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角．锐角三角函数和解直角三角形•考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念8.(2014乌鲁木齐市）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆．在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A、C、F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°．已知测角仪AD的高为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长（精确到0.1米）.EDACFB37°G考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念9.（2011年乌市中考11分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P’的俯角为53°，（P’为P关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？ABCPP'37°53°湖面锐角三角函数和解直角三角形D•考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念10.（2009年乌市中考10分）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？BADC图7北东西南锐角三角函数和解直角三角形•考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念11.（2013•乌鲁木齐中考）九（1）数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°，如图所示，求古塔A、B的距离．锐角三角函数和解直角三角形第22课时锐角三角函数和解直角三角形•真题演练•层层推进基础题1.(2014•湖州)如图22-7，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是()提示：∵tanA=，AC=4，∴BC=2．3.(2014•包头)计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是()A．2B．1C.D.AAB第22课时锐角三角函数和解直角三角形4.(2014•衡阳)(坡度)如图22-8，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为()A．26米B．28米C．30米D．46米提示：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米．D5.(2014•绵阳)如图22-9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为()A.海里B.海里C.80海里D.海里提示：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40(海里)，则PB=(海里)．A第22课时锐角三角函数和解直角三角形•提高题6.(2014•百色)如图22-10，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是()A.米B.米C.米D．12米提示：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6m，∴BC=6m，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6m，∴DC=CB+BD=6+6(m)．7.(2014•重庆)如图22-11，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．A第22课时锐角三角函数和解直角三角形•拔高题8.(2014•云南)如图22-12，小明在M处用高1米(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度(取≈1.73，结果保留整数)解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°－∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业一、选择题1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为()提示：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，利用勾股定理可求得斜边AB=5，所以.2.点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是()提示：sin60°=，cos60°=，再把纵坐标变成相反数．3.如图22-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为()提示：根据勾股定理可得，AB=，由题意，可知∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B=．CBA第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业4.河堤横断面如图22-2所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1：(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()A．5米B．10米C．15米D．10米5.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图22-3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A.米B.12米C.米D．10米提示：延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°.作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4.∴BD=BF+EF+ED=12+2.∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，.AA第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业二、填空题6.如图22-4，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=6米，则相邻两树的坡面距离AB≈米．(精确到0.1米)7.都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图22-5，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于.6.8提示：在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值：如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；根据勾股定理，得：AB=(米)，∴tanθ=.第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业8.如图22-6，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处。若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为m(精确到0.1m).(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)提示：由DB=9m，CD=1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=9m，BE=1.5m.在Rt△ACE中，AE=CE•tan∠ACE=9tan360≈9×0.73=6.57.∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1(m).9.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=.提示：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA=20。∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB=90°，BP=60×=40。∴tan∠ABP=.8.1第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业10.如图22-7，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是cm．提示：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5.∴CD=5BD=5×54=270(cm).∴AC=CD－AD=270－60=210(cm).∴AC的长度是210cm.210第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业三、解答题11.(2014•宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2－