创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件理

第8讲函数与方程考试要求函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求．知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．f(x)＝0x轴零点(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与x轴的交点无交点零点个数两个一个零个(x1,0)，(x2,0)(x1,0)诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(4)当x0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点．()解析(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1,1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)0.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．(必修1P111复习13改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．解析∵f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．答案13．(2015·安徽卷改编)在函数①y＝cosx；②y＝sinx；③y＝lnx；④y＝x2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________(填序号)．解析由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点．答案①4．(2017·泰州联考)若x1，x2是方程2x＝12的两个实根，则x1＋x2＝________.解析∵2x＝12，∴2x＝2，∴x＝1x－1即x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1.答案－15．(2017·苏北四市调研)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0的零点个数是________．解析当x＞0时，令g(x)＝lnx，h(x)＝x2－2x.画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－14，综上函数f(x)的零点个数为3.答案3考点一函数零点的判断与求解【例1】(1)函数f(x)＝－12x的零点个数为________．(2)(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．解析(1)因为y＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝－12x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝12＞0，所以f(x)＝－12x在定义域内有唯一零点．(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝－lnx，0＜x≤1，－x2＋lnx＋2，1＜x＜2，x2＋lnx－6，x≥2，当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋1x＝1－2x2x＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.答案(1)1(2)4规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．【训练1】(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为________．解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案0考点二根据函数零点存在情况，求参数的取值范围【例2】(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．解析作出函数y＝f(x)与y＝a的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0a12.答案0，12规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【训练2】(2017·南通、淮安三调)已知函数f(x)＝2x3＋3x2＋m，0≤x≤1，mx＋5，x1，若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．解析当x∈(0,1)时，f′(x)＝6x2＋6x0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0,1]单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0,1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m0，且f(1)＝m＋50，解得－5m0.答案(－5,0)考点三二次函数的零点问题【例3】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，解得x≤12或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集为xx≤12或x≥1.(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则g1＞0，g2＞0，1＜－a4＜2，Δ＝a2－24＞0，即a＋5＞0，2a＋11＞0，－8＜a＜－4，a＜－26或a26，解得－5＜a＜－26.所以实数a的取值范围是(－5，－26)．规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．解法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x1－1)(x2－1)0，∴x1x2－(x1＋x2)＋10，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋10，即a2＋a－20，∴－2a1.法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，得a2＋a－2＜0，∴－2a1.故实数a的取值范围是(－2,1).[思想方法]1．判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．[易错防范]1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．