最短路径算法

8.3单源最短路径给定带权有向图G=(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。1、算法基本思想Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。8.3单源最短路径其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。8.3单源最短路径例如，对右图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。8.3单源最短路径迭代Sudist[2]dist[3]dist[4]dist[5]初始{1}-10maxint301001{1,2}21060301002{1,2,4}4105030903{1,2,4,3}3105030604{1,2,4,3,5}510503060Dijkstra算法的迭代过程：初始状态下，S中只有一个点（源点v1）。-11-111010∞3010010000s:distance:path:①第二步，将S外距离S最近的点v2加入S。更新相应信息。-11-111010∞3010010000s:distance:path:1①②602第三步，将S外距离S最近的点v4加入S。更新相应信息。-11211010603010011000s:distance:path:1①②504④904第四步，将S外距离S最近的点v3加入S。更新相应信息。-1141401050309011010s:distance:path:1①②603④③第五步，将S外距离S最近的点v5加入S。更新相应信息。-1141301050306011110s:distance:path:1①②④③⑤§voidDijkstra(intG[][N],intv0,intdistance[],§intpath[]，intn)§//源点v0到其他顶点的最短距离distance和最短路径下标path§{int*s=newint［n］;§intminDis,i,j,u;§//初始化三个数组§//逐次将各点加入S//在当前还未找到最短路径的顶点集中选取具有最短距离的顶点u//标记顶点u已从集合T加入到集合S中//修改从v0到其他顶点的最短距离和最短路径§voidDijkstra(intG[][N],intv0,intdistance[],§intpath[]，intn)§//从源点v0到其他顶点的最短距离distance和最短路径下标path§{int*s=newint［n］;§intminDis,i,j,u;§//初始化三个数组§for(i=0;in;i++)§{§distance［i］=G[v0][i];§s［i］=0;§if(I!=v0&&distance［i］MAX)path［i］=v0;§elsepath［i］=-1;§}§s［v0］=1;//标记顶点v0已从集合T加入到集合S中§//在当前还未找到最短路径的顶点集中选取具有最短距离的顶点u§for(i=1;in;i++)§{minDis=MAX;§for(j=0;j=n;j++)u到j有边相连，j才有可能因u的加入而距离源点更近§if(s［j］==0&&distance［j］minDis)§{u=j;§minDis=distance［j］;§}§s［u］=1;//标记顶点u已从集合T加入到集合S中§//修改从v0到其他顶点的最短距离和最短路径§for(j=0;jn;j++)§if(s[j]==0&&G[u][j]MAX&&§distance[u]+G[u][j]distance[j])§distance[j]=distance[u]+G[u][j];§path[j]=u;§}}}2、算法的正确性和计算复杂性(1)贪心选择性质(2)最优子结构性质(3)计算复杂性对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要时间。算法的其余部分所需要时间不超过。)(nO)(2nO)(2nO7.5所有点对的最短路径问题§对于一个各边权值均大于0的有n个顶点的带权有向图G=(V,E)，求所有顶点之间的最短路径和最短距离。图的邻接矩阵表示法123V=(b)(a)28196123L=0298061∞0复习Dijkstra算法其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源点。设u是G的某一个顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组distance作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，distance就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。§算法中，我们不断更新以下三个数组：§s数组:s[i]，当顶点i加入S时，s[i]置1§Distance数组:Distance[i]记录原点到顶点i的最短特殊路径长度。§path数组：path[i]记录顶点i在其最短特殊路径上的前驱顶点。由该数组可求得原点到各点的最短路径。如：设源点是顶点1,path数组如下例如，对右图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。0141301050306011111s:distance:path:由源点1到顶点5的路径为：1-4-3-5方法一：重复调用Dijkstra算法n次§可轮流以每一个顶点为源点，重复调用狄克斯特拉算法函数Dijkstra()n次，即可求得所有顶点之间的最短路径和最短距离。§利用Dijkstra()函数求所有顶点之间的最短路径算法如下。其中，distance[i][j]中存放着从顶点i到顶点j的最短距离，path[i][j]中存放着从顶点i到顶点j的最短路径的前一顶点下标。§voidShortPath(AdjMWGraph&G,int**distance,int**path)§{§Intn=G.NumOfVertices();§for(inti=0;in;i++)§Dijkstra(G,i,distance［i］,path［i］);§}由于狄克斯特拉算法的时间复杂度是O(n2)，所以n次调用狄克斯特拉算法的时间复杂度是O(n3)。该问题具有最优子结构性质例如上图中，若路线I和J是A到C的最优路径，则根据最优化原理，路线J必是从B到C的最优路线。子问题的构造§原问题：每个顶点到其他所有顶点的最短距离§最小的子问题D0：从顶点i（不得经过任何其他顶点）到顶点j的距离；§子问题D1：从顶点i（可以经过顶点1，不得经过其他任何其他顶点）到顶点j的距离。§子问题Dk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点k，不得经过任何其他顶点）到顶点j的距离。§子问题Dn：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点n）到顶点j的距离。——即原问题递推关系的建立§由di,jk-1推出di,jk的过程如下若k=0,di,jk=L[i][j](因为从i到j不允许经过任何其他顶点）若1≤k≤n,di,jk=min{di,jk-1,di,kk-1+dk,jk-1}子问题Dk-1：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……、顶点k-1）到顶点j的距离。子问题Dk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点k-1、顶点k）到顶点j的距离。从子问题Dk-1：到子问题Dk，仅仅多考虑了一个顶点k。我们需要重新考虑从i到j的距离：顶点i到顶点j，是不是从k走会更近？如果从顶点i到顶点j从顶点k走更近，则i到j的距离di,jk=i到k的距离di,kk-1+k到j的距离dk,jk-1如果顶点i到顶点j从顶点k走更远，甚至走不通，则保持原来的距离不变di,jk=di,jk-1。由di,jk-1推出di,jk的过程，主要考虑的是顶点k的加入会引起什么变化？由不允许路过顶点k到允许路过顶点k，有些点间的距离是否会变的更近。§例：考虑下图所示的带权有向图，求所有顶点之间的最短距离。V=(b)(a)12328196123L=0298061∞0计算过程123281960298061∞0D0=029806130D1=028806130D2=028706130D3=Di,jk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点k）到顶点j的距离。在D1中，第1行和第一列是不变的，因为说从顶点1到顶点j或顶点j到顶点1：允许经过顶点1是没有意义的D1[2][3]:从顶点2到顶点3的距离（可以经过顶点1）（1）不经过顶点1：仍是D0[2][3]=6；（2）过顶点1：D0[2][1]+D0[1][3]=8+9=17取最小值6D1[3][2]:从顶点3到顶点2的距离（可以经过顶点1）（1）不经过顶点1：仍是D0[3][2]=∞；（2）过顶点1：D0[3][1]+D0[1][2]=1+2=3取最小值3D2[1][3]:从顶点1到顶点3的距离（也可以经过顶点2）（1）不经过顶点2：仍是D1[1][3]=9；（2）过顶点2：D1[1][2]+D1[2][3]=2+6=8取最小值8算法设计重要发现：在从Dk-1到Dk的计算过程中中，第k行和第k列是不变的。（因为说从顶点k到顶点j或顶点j到顶点k允许经过顶点k是没有意义的）而在从Dk-1到Dk的计算过程中也只用到第k行和第k列，也就是说，在这一步的计算过程中用到的数据都不会被覆盖。故在算法中仅使用一个矩阵D即可FLOYD算法§FLOYD(int*L,intn)§{int*D=(int*)malloc((n+1)*(n+1)*sizeof(int));§DL{将数组L复制到D};§for(k=0;kn;k++)§for(i=0;in;i++)§for(j=0;jn;j++)§D[i*n+j]=min(D[i*n+j],D[i*n+k]+D[k*n+j]);§}