数学建模最终定稿

A题：铁皮罐下料问题一、问题分析：针对问题一，生产一定量的铁皮罐，且上下盖圆板和侧面矩形板都在规格为2×1的铁皮上冲压或切割出来（不在同一铁皮上混合下料），要使得用料最省，则要考虑如何分配用作圆料和长方形的铁皮数。针对问题二：大规模生产时，只考虑节省原料问题。（可以在同一张铁皮上混合下料）所以首先考虑在平均情况下使每张铁皮生产的铁罐个数达到尽可能多，或每张铁皮的损耗更少。针对问题三：实际生产中，零件与零件的连接大部分要考虑接口处的损耗，所以实际生产中要对大部分连接零件预留接口，这就使实际部件尺寸比理想的稍大哦，所以在建立模型时要考虑在某些参数不变的情况下刻意增大某些量。二、模型假设：1、在封闭的环境下冲压或切割，忽略外界气压、温度等的影响。2、忽略铁皮的厚度影响。（实际情况改进时再考虑）3、下料时，图形互不重叠，即图形边界线不得相交。4、理想切割或冲压，即不会产生裁剪毛边且相切图形可以沿切线准确裁剪，并且不会出现造成铁皮损坏等工艺上的失误。5、不考虑预留接口。（问题三另作考虑）6、所有铁皮罐规格相同。三、变量符号说明符号对象单位r圆柱形铁皮罐上盖和下底的半径md圆柱形铁皮罐上盖和下底的半径mh圆柱形铁皮罐的高mS圆柱形铁皮罐的表面积平方米V圆柱形铁皮罐的体积立方米a铁皮长度mb铁皮宽度mN一张铁皮可做出的圆板数正整数N44切圆时的圆板数正整数N66切圆时的圆板数正整数Nm一张铁皮可做出的矩形板的数量正整数π圆周率，取3.1416四、模型建立：4.1、问题（1）：分析：生产一定量的铁皮罐，且上下盖圆板和侧面矩形板都在规格为2X1的铁皮上冲压或切割出来（不在同一铁皮上混合下料），要使得用料最省，则要考虑如何分配用作圆板和矩形板的铁皮数。为此，需要先建立两个子模型（切割圆板最优模型和切割矩形板最优模型）并先利用铁皮罐表面积最小缩小半径r的取值范围。4.1.1、切割圆板模型的建立1、假设：a、理想切割，即可使圆与圆彼此相切；b、每个圆（除在铁皮边缘的圆）之间接触的形式（每张铁皮上的圆只能有一种接触形式）为：（1）与4个圆相切。（2）与6个圆相切。2、建立模型与数学求解：每个圆与4个圆相切的形式每个圆与6个圆相切的形式每个圆与4个圆相切时：若a2nr可得到n列圆（n只能为正整数），所以列数n就是a/2r的整数部分[a/2r]。同理可知，行数为b/2r的整数部分[b/2r]。故一张铁皮可得圆板总数为N=[a/2r]*[b/2r]。每个圆与6个圆相切时：当铁皮长度a是r的奇数倍(2n+1)r，则在a增大到(2n+2)r足以再容纳一个圆板前，每行可有n个圆板;a增大到（2n+2）r时,各行交替为n+1个和n个;a再增大到（2n+3）r不到（2n+4）r时每行就能包含n+1个圆板。若共有x行，则x必须满足2r+(x-1)rb,因x只能是整数，所以x=[（b-2*r）/(√3*r)]+1。在每行有n个圆板的情况下，圆板总数N=nx,由条件（2n+1）r=a(2n+2)r得n=([a/r]-1)/2.因此，N=1/2([a/r]-1)[（b-2*r）/(√3*r)+1].当各行为n+1和n个圆板交替出现时，分开考虑行数为偶数和奇数情况。x为偶数时，有n+1个和n个圆板的行数各为x/2行；当x为奇数时有n+1个和n个圆板的行数分别为（x+1）/2行和（x-1）/2行,n也必须满足（2n+2）r=a(2n+3)r.所以n=([a/r]-2)/2。故当x为偶数时，圆板总数N=x(n+1/2)；x为奇数时，N=x(n+1/2)+1/2。（根据题目要求，模型中a=2,b=1）（说明：因为对于相同大小的圆来说，外切正六边形比外切正方形面积更小，所以对于同一参数来说，虽然可能切出相同数目的圆板，但外切正六边形损耗更少，即一般来说每个圆与6个圆相切的方式原料的利用率更高）4.1.2、切割矩形板模型的建立1、假设：理想切割，即切割线就是两个矩形的边。2、分析：生产原料是规格为2*1的矩形铁皮材料，若在此原料上切割出尽可能多的相同规格的小矩形，显然不能斜着切。所以切割方向只能是横向或纵向。而对每种切割方向，小矩形的放置方式又可以有两种：纵向放置或横向放置，故共有四种切割方式，如下图所示：（方式1）大矩形横向切割，小矩形纵向放置（方式2）大矩形横向切割，小矩形横向放置（方式3）大矩形纵向切割，小矩形纵向放置（方式4）大矩形纵向切割，小矩形横向放置所以，一个大矩形就按照上面四种方式分割,比如对大矩形作横向切割时,小矩形的放置可以纵向或横向,一次分割以后,再对剩下的部分作进一步分割,分割方式仍然是前面四种,直到将大矩形分割完毕或剩余的部分不足够一个小矩形为止,分割操作才结束.(借助C++程序实现，程序见附录1.)4.1.3表面积最小时的半径r:由体积公式：24dVh，表面积公式：224dsdh，可知表面积公式为：222244222ddVdVsdhddd，由1V，故铁罐表面积最小的数学模型为：242dsd，又32244dsddd，可求得驻点34d，故此时有32234444()hd，即当34dh分米时，有最小表面积：22334242dsdh平方分米。所以可得r=d/2=0.54201767891分米=0.054201767891米。又因为我们需要从铁皮上切割出尽可能多的圆形和矩形，并且使之比例尽可能接近2：1。考虑到实际问题与计算方便，我们把铁罐上下底面半径限定在一定的范围0.020~0.090内，并采用枚举法，逐步缩小范围，再利用刚刚建立的圆板切割模型和矩形板切割模型得出最优结果。(由于圆的半径跟小矩形的长和宽存在一一对应关系，且本题要求总体最优而不单纯考虑某个子模型最优。因此，问题一的解决要从总体最优化出发。)结合以上圆板切割模型和矩形板切割模型，可建立问题一的总模型如下：4.1.4问题一总模型的建立出于本题的性质，可以假设工厂大规模生产K个铁罐，分配做圆板的铁皮数为X块（X4表示分配给4切圆的铁皮数，X6表示分配给6切圆的铁皮数），做矩形的铁皮数为Y块，则所用的总铁皮数为Z，Z=X+Y（X=[2K/N]，Y=[2K/Nm]）。根据题意，大规模生产K个产品，要使用料较省，则所求Z要较小。考虑r在实际生产中的可行性，r可限定在（0.020m~0.090m）范围内。结合以上两个模型可得：Z=[2K/N]+[2K/Nm]N为一张铁皮可做出的圆板数,可由圆板切割模型中的公式计算出来。Nm为一张铁皮可做出的矩形板数，可由矩形板切割模型中的程序得出。4.1.5问题一总模型的求解（为便于计算，先取K=10000）所以问题一可数学表述为，已知铁皮规格为2×1，现要生产K个(已假设K=10000)铁皮罐,铁罐的上下底圆板和侧面矩形板不在同一铁皮上混合下料，试利用以上两个子模型求解当半径r为多少时用料最省，此时用于加工圆板和加工矩形板的铁皮数应如何分配？由公式Z=[2K/N]+[2K/Nm]可以列出下表：rN4N6NmZhX4X6Y0.02012501397176040.7957716155890.025741874215000.5092927234770.030528608274040.3536738333710.035392432343420.2598452472950.040300336383240.1989467602640.045242263423160.1571983772390.050200209463140.12732100962180.055162170503180.105221241182000.060128143583130.088411571402730.065105119613330.075331911691640.07098104663450.064962051931520.0757890743590.056552572231360.0807277704030.049732782601430.0855565754420.044053643081340.0905560834550.03929364334121分析可知，当r=0.050m~0.060m时，Z可以取到较小的值，但当r从0.050变化到0.060过程中，X在增大Y在减小，所以Z还可能取到更小的值，故再对0.050m~0.060m这一范围进一步的划分，结果如下：rN4N6NmZhX4X6Y0.051171198493070.122371171022050.052171198503020.117711171022000.053162179513090.113311241121970.054162179503120.109151241122000.055162170503180.105221241182000.056136160513220.10151481251970.057136160543110.097971481251860.058136152523250.094621481321930.059128143523330.09144157140193分析表中数据不难发现，当r在0.051m~0.053m时Z有一个先减后增的过程，所以在这个范围内将r作更精密的划分，可得下表中数据：rN4N6NmZhX4X6Y0.0511171198493070.12191171022050.0512171198493070.121421171022050.0513171198493070.120951171022050.0514171198493070.120481171022050.0515171198493070.120011171022050.0516171198503020.119551171022000.0517171198503020.119081171022000.0518171198503020.118621171022000.0519171198503020.118171171022000.052171198503020.117711171022000.0521171198512990.117261171021970.0522171189513030.116811171121970.0523171189513030.116371171121970.0524171189513030.115921171121970.0525171189513030.115481171121970.0526171189513030.115041171121970.0527162179513090.114611241121970.0528162179513090.114171241121970.0529162179513090.11374124112197分析可知，当r=0.0521m时Z=299最小，即用料最少。此时，分配给圆板的铁皮数为X=102，分配给矩形板的铁皮数为Y=197。此时宽高比为d/h=2r/h=0.888624.1.6问题一的结论当工厂大规模生产铁皮罐，为方便计算，假设只生产10000个，铁皮罐的上盖和下底以及侧面都从规格为2米×1米的铁皮上理想冲压或切割出来（为方便加工，圆板和矩形板不在同一张铁皮上裁剪），根据圆板和矩形板最优切割方法，采用逐层枚举分析，推出了用料最省的矩形料和圆料的分配。以毫米为切割精度时，r=0.052m，h=0.118m取得最省原料解，只需用302张铁皮即可生产出10000个铁皮罐；当精度进一步提高时，r=0.0521m，h=0.1173m，此时宽高比为0.88862用料最省，此时生产10000个铁皮罐只需299张铁皮。可见，提高切割精度也是一种可以节省原料的方法，但在工厂生产中，提高切割精度可能会造成成本的增加，这与节省原料造成的成本减小相矛盾，因此如何取舍还要视生产实际情况而定。4.1.7、评估分析：(1)本模型在建模过程中，对铁皮罐