三个宇宙速度的推导

宇宙速度的推导主讲：万海松前言作为一名物理老师，我们都知道在学习宇宙航行一课时，书本上直接给出了三个宇宙速度的大小，并只对第一宇宙速度进行了推导。当我讲到第二宇宙速度时，班上有一位学生提出了疑问——v2=11.2km/s是怎么来的？受这名学生的问题的启发，本节课我将对三个宇宙速度进行推导。地球牛顿认为，在高山上抛出一个物体，如果速度足够大，物体的飞行距离可以很大，大到等于或大于地球在周长时，物体将不再落回地球表面。由此，将航天器从地球表面发射升空，绕地球旋转，它发射的速度必须大于某个值，我们把这个速度值叫做第一宇宙速度。但此时，航天器仍在地球引力场的束缚之下，要想摆脱地球引力场的束缚，速度必须更大。航天器从地球表面发射，能够摆脱地球引力场，永远离开地球所必须具有的最小发射速度为第二宇宙速度，也叫“脱离速度”或“逃逸速度”。V1=7.9km/s地球V2=11.2km/sv3=16.7km/s但此时，航天器仍在太阳引力场的束缚之下，当发射速度继续增大，可以使航天器摆脱太阳的引力束缚，即将从地球表面发射航天器，不仅使航天器摆脱地球的引力场，还要使航天器摆脱太阳的引力场所必须具有的最小发射速度定义为第三宇宙速度。设地球质量为M，半径为R.人造地球卫星在圆轨道上运行，质量为m，轨道半径为r.rmvrGMm22rGMv从上式可以看出:,卫星离地心越近，它运行的速度就越大。rv1推导第一宇宙速度对于靠近地面的卫星，可以认为此时的r近似等于地球半径R，通过查找数据，Ｍ=5.96×1024kg，R=6378.5km可以求出s/km9.7s/m109.71037.61089.51067.6RGMV3624111推导第二宇宙速度航天器如果要脱离地球引力，需要克服地球引力场作功。由万有引力公式：2rMmGF由R到无穷远积分得,需克服引力做功drrMmGR2RMmG由动能定理RGMvRMmGmv221222即为第二宇宙速度公式，代入数据即可得skmv/2.112推导第三宇宙速度第三宇宙速度的计算比较复杂，主要分三部计算：１、地球轨道上对于太阳的逃逸速度，由上述推导第二宇宙速度公式带入太阳质量M和地球公转轨道半径rrGMv22可得skmv/1.420２、地球的公转速度为29.8km/s，如果航天器发射时的速度方向与地球公转速度方向一致，则可以节约大量能源，可以用最小的速度发射。所以有V'42.129.812.3km/s为航天器的剩余速度，为航天器克服地球引力的所需的剩余能量；V'３、航天器克服地球引力所消耗的能量加上剩余能量等于航天器的初始动能，即2322221'2121mvmvmv解得skmvvv/7.162'223即为第三宇宙速度