2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试

2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若21zii(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知{|12}Axx，2{|20}Bxxx，则AB()A.(0,2)B.(1,0)C.(2,0)D.(2,2)3.下列叙述中正确的是()A.命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”B.“方程221AxBy表示椭圆”的充要条件是“AB”C.命题“2,0xRx”的否定是“200,0xRx”D.“m=2”是“1l：2140xmy与2l：320mxy平行”的充分条件4．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝()A．80B．85C．90D．955.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为()A.320B.310C.4D56．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．8－4π3B．8－πC．8－2π3D．8－π37．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.kπ－π4，kπ＋π4，k∈ZB.2kπ－π4，2kπ＋π4，k∈ZC.kπ－π3，kπ＋π6，k∈ZD.2kπ－π3，2kπ＋π6，k∈Z8．函数f(x)＝ln|x－1||1－x|的图象大致为()9．平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，若AP→＝xAB→＋yAD→，则3x＋2y的最大值为()A．4B．5C．2D．1310．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为fx，若对于任意实数x，有f(x)＞fx，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)＜ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，e4)D．(e4，＋∞)11．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得1221sinsinacMFFMFF，则该椭圆离心率的取值范围为()A．(0，2－1)B.22，1C.0，22D．(2－1,1)12.抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝233|AB|，则∠AFB的最大值为()A.π3B.3π4C.5π6D.2π3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若622yxyx，则目标函数yxz3的取值范围是.14.6221xx的展开式中4x的系数为.15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A、B、C、D、E5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有.16．已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是.三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分12分）在等比数列}{na中，首项81a，数列}{nb满足nnab2log，且15321bbb.（1）求数列}{na的通项公式；（2）记数列}{nb的前n项和为nS，又设数列}1{nS的前n项和为nT，求证：43nT.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA＝SD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝3.(1)求证：SP⊥AB；(2)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；(3)设M为SC的中点，求二面角S—PB—M的余弦值．19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)已知点C为圆22(1)8xy的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0MQAP，2APAM.（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l与圆221xy相切，与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点,FH,O是坐标原点，且2334OFOH时，求k的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx－x＋1x，其中a＞0.(1)若f(x)在(2，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；(2)设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，若f(x2)－f(x1)存在最大值，记为M(a)，则当a≤e＋1e时，M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线2cos:3sinxCy（为参数）和定点(0,3)A，1F、2F是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF的极坐标方程.（2）经过点1F且与直线2AF垂直的直线交此圆锥曲线于M、N两点，求11||||MFNF的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试答案一．选择题123456789101112ABDCADADCBDD二．填空题13.8,1414.32015.5116.－52e，－83e2三．解答题17.解：（1）由2lognnba和12315bbb得2123log()15aaa，所以151232aaa，设等比数列}{na的公比为q，18a，18nnaq，2158882qq解得4q．121842nnna……6分（2）由（1）得21nbn，证明}{nb为等差数列，235...(21)2nSnnn,则11111()(2)22nSnnnn，nT111111[(1)()()]23242nn1311()2212nn，34nT．………12分18．(1)证明：∵在△SAD中，SA＝SD，P为AD的中点，∴SP⊥AD，∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD.∴SP⊥平面ABCD.(3分)∵AB⊂平面ABCD，∴SP⊥AB.(4分)(2)∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12AD，P为AD的中点，∴BC∥PD，且BC＝PD.∴四边形BCDP为平行四边形．∵AD⊥DC，∴AD⊥PB.(6分)由(1)可知SP⊥平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P—xyz，如图．则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，S(0,0，3)，C(－1，3，0)，D(－1,0,0)．∴BS→＝(0，－3，3)，CD→＝(0，－3，0)，SD→＝(－1,0，－3)．设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，∵n⊥CD→，n⊥SD→，∴－3y＝0.－x－3z＝0.令z＝1，则x＝－3，y＝0，∴n＝(－3，0,1)为平面SCD的一个法向量．(8分)设直线BS与平面SCD所成角为α.sinα＝|cos〈n，BS→〉|＝n·BS→|n||BS→|＝32×6＝24，∴直线BS与平面SCD所成角的正弦值为24.(9分)(3)∵AP⊥SP，AP⊥BP，SP∩BP＝P，∴AP⊥平面SPB.即PA→＝(1,0,0)为平面SPB的法向量．∵M为SC的中点．∴点M的坐标为－12，32，32，而PB→＝(0，3，0)，PM→＝－12，32，32.设平面MPB的法向量为m＝(x，y，z)．∵m⊥PB→，m⊥PM→，∴3y＝0，－12x＋32y＋32z＝0.令z＝1，则x＝3，y＝0，∴m＝(3，0,1)，(11分)∴cos〈m，PA→〉＝m·PA→|m||PA→|＝32×1＝32.(12分)易知，二面角S—PB—M为锐角，∴二面角S—PB—M的余弦值为32.(13分)19.（本小题满分12分）解：（1）由图可知，第一组3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，所以后四组的频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的人数为3+7+27+24+21=82（或者100-18=82）人，全年级视力在5.0以下的人数约为821000820100.（2）22100(4118329)3004.1103.8415050732773k因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.（3）依题意9人中年级名次在1—50名和951—1000名分别有3人和6人，X所有可能取值有0，1，2,3.321663339912633933392054515(0),(1)84218428183(2)84141(3).84CCCPxPxCCCCPxCCPxC，，X的分布列为X的数学期望E(X)=515310+1+2+3=1.2128148420.解：（1）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，所以222CPQCQPQCQACA所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，2a，1c，221bac,故点Q的轨迹方程是2212xy（2）设直线:lykxb，1122,,,FxyHxy直线l与圆221xy相切222111bbkkX0123P5211528314184联立2212xyykxb222124220kxkbxb222222216412218(21)80kbkbkbk0k2121222422,1212kbbxxxxkk22121212121()OFOHxxyykxxkbxxb22222(1)(22)(4)1212kbkbkbbkk2222222(