21.生产函数的非参数估计

1第1组数量经济学理论与方法（一）（计量经济学），9366字生产函数的非参数估计*陶洪亮a杜在超b内容提要：本文在ACF(2006)方法的基础上进一步扩展，采用过度识别的广义矩方法来估计生产函数的系数，并采用自抽样方法得到系数估计值的标准误。我们发现，与扩展的ACF方法相比，最小二乘法和固定效应模型估计的劳动力系数存在上偏，资本系数存在下偏。最后对自抽样的样本进行估计并比较不同方法估计的系数的差异，系数比较的结果进一步支持了本文的发现。关键词：非参数估计；生产函数；全要素生产率中图分类号：O212文献标识码：ATheNon-parametricEstimationofProductionFunctionAbstract:WeextendtheACF(2006)methodusingtheover-identifyingGMMtoestimatetheproductionfunction,andobtainthestandarderrorbybootstrapmethod.WefindthatcomparedwithextendedACFmethod;thereareupwardbiasinthelaborcoefficientestimatoranddownwardbiasinthecapitalcoefficientestimatorforbothOLSandfixedeffectmodel.Finally,weestimateforthebootstrappedsampleandcomparetheestimatorfordifferentmethod,andtheresultsfurthersupportourfinding.Keywords:Non-parametricEstimation；ProductionFunction；TotalFactorProductivity*感谢密歇根州立大学经济系伍德里奇教授给予的评论；感谢穆迪评级公司Poi在编程方面给予的帮助。文责自负。a陶洪亮，男，1984年8月生，在读博士，西南财经大学经济与管理研究院，中国数量经济学会会员。a杜在超，男，1980年11月生，博士，副教授，西南财经大学经济与管理研究院，中国数量经济学会会员。1一、引言在经济学中，全要素生产率是衡量生产效率的重要指标，它代表了产出中不能用要素投入解释的部分，如技术进步，组织变革以及制度变迁等。全要素生产率能否准确度量，取决于生产函数估计的准确性。经济学家对生产函数的估计可以追溯到19世纪（Levinsohn和Petrin,2004）。随着经济学理论的发展和计量经济学估计方法的进步，以及微观企业数据的出现，生产函数的估计方法不断改进。但是估计过程中的内生性问题始终没有得到彻底解决。Marschak和Andrews(1944)最先指出，企业主在观测到当期生产率后决定劳动力和资本等要素的投入数量，这会导致企业生产率与要素投入正相关。当预期生产率上升时，企业会增加要素投入。因此采用最小二乘法（以下简称OLS）估计的系数存在偏误。面板模型中的固定效应模型可以部分地解决生产函数估计中的内生性问题。它假设企业个体的生产率是固定不变的，通过均值变换或者差分变换将不可观测的生产率变量从模型中消除掉。但是这个假设明显偏离现实，现实中企业的生产率是不断变化的，对于我国处于转型期的企业来说更是如此。而且当要素投入存在测量误差时，使用固定效应模型估计产生的偏误甚至大于OLS方法产生的偏误（Griliches和Hausman,1986）。计量经济学中的工具变量方法是解决内生性问题的一种常见方法，该方法要求找到与要素投入相关，但不进入生产函数并且与生产率不相关的变量，但现实中很难为要素投入找到合适的工具变量（Ackerberg等，2007）。在完全竞争的市场环境中，要素的价格会影响要素使用量，并且要素价格不会进入企业的生产函数，理论上可以将要素价格作为要素投入的工具变量。从计量经济学的角度讲，若用要素投入量对要素价格进行回归，要求要素的价格在厂商间具有一定的变化，但在完全竞争的市场环境中要素价格是相同的。而且要素价格通常反映了要素本身的质量水平，如高技能工人的工资一般会高于低技能工人工资，如果高技能工人相对于低技能工人有更高的生产率，这会使要素价格与生产率产生正相关，这违反了工具变量估计方法的要求。Olley和Pakes（1996）（以下简称OP）开创性地提出一种半参数方法来解决生产函数估计中的内生性问题①。给定资本存量，在企业投资值大于0的条件下，投资是关于生产率的严格单调增函数(Pakes,1994)，投资量的大小反应了企业生产率的高低。求生产率关于投资和资本存量的反函数，将生产率表示为投资和资本存量的函数，用反函数将不可观测的生产率显性地表示出来，以解决模型估计中的内生性问题。半参数估计方法的优点在于，投资函数作为企业最大化预期未来净利润的动态模型的解，函数表达式十分复杂，采用非参数②Levinsohn和Petrin（2003）（以下简称LP）指出由于调整成本的约束，投资并不能灵活地进行调整，因此它并不能充分反应企业生产率的变化；而且在现实应用中很多发展中国家方法可以不用去解复杂的动态均衡模型，大大减小了运算量。①Olley和Pakes（1996）同时考虑了生产率与要素投入相关导致的内生性和样本选择造成的内生性，本文只考虑前者，将样本选择引入到ACF的框架内可以作为下一阶段的研究。②严格的讲，Olley和Pakes（1996）；Levinsohn和Petrin（2003）的估计方法属于半参数估计方法，以下本文将不再区分半参数与非参数，统称非参数估计方法。2的企业的年度投资值为0（OP中的单调性假设要求投资值必须为正），使用OP方法就要舍弃这部分样本，从而降低了估计的效率，因此投资值并不是一个理想的代理变量。LP提出用企业生产中的中间投入品（如原材料、燃料等）替代OP中的投资，将生产率表示为中间投入品和资本存量的函数。因为无论生产率高低，企业只要生产就要使用中间投入品，中间投入品使用量的大小更能灵活地反应企业生产率的变化。Ackerberg,Caves和Frazer(2006)（以下简称ACF）指出LP的方法存在严重的共线性问题，很难找到合理的数据生成机制，将劳动力的系数从第一阶段的估计中识别出来。ACF在OP和LP的基础上提出新的估计方法，在估计的第一阶段放弃对劳动力系数的估计，所有投入要素的系数都将在第二阶段进行估计。由于OP，LP和ACF的方法都涉及到多阶段估计，很难得到回归系数标准误的解析解。Pakes和Olley（1995）提出了构造渐进标准误的理论框架。LP采用自抽样的方法获得系数估计值的标准差；Wooldridge（2009）使用广义矩（Hansen，1984；Wooldridge，2002）对第一阶段和第二阶段同时进行估计，一方面提高了估计的效率，另一方面可以方便地获得标准误。由于非参数方法有效地解决了生产函数估计中的内生性问题，半参数估计方法在国际贸易、实证产业组织等领域得到广泛应用，如Pavcnik(2002)，Deloecker(2007)，Topalova和Khandelwal（2004）等。国内学者中金剑和蒋萍（2006），李玉红和王皓（2007）对生产函数估计的半参数方法进行了简要的介绍。张杰等（2009），张礼卿和孙俊新（2009）使用了OP估计方法；刘巳洋等（2009），陈琳和林珏（2009）使用了LP估计方法；李玉红等（2008），黄枫（2010）使用了ACF的估计方法。以上文章虽然采用了非参数的估计方法，但是对传统方法估计的系数的偏误以及不同方法估计得到的系数的差异显著程度，则缺乏研究。ACF（2006）在估计的第二阶段使用恰好识别条件来识别参数。本文在ACF估计方法的基础上进一步扩展（以下称本文的估计方法为扩展的ACF方法，以便和ACF（2006）的估计方法区分），通过构建过度识别的矩条件，在模型估计的第二阶段采用GMM对参数进行估计。然后以我国纺织业企业为例对生产函数进行了估计，与扩展的ACF方法相比，OLS和固定效应模型估计的劳动力系数上偏，资本系数下偏，系数偏误的方向与以往文献的发现一致。本文采用自抽样方法得到系数估计值的标准误。由于我们在第二阶段采用过度识别的GMM进行估计，所以在对自抽样样本进行估计时，对GMM估计的目标函数进行了“再中心化”（recenter）处理，以保证自抽样方法的有效性。同时，对每一次自抽样的样本，分别采用OLS、固定效应和扩展的ACF方法进行估计，来比较不同方法估计的系数的差异显著程度。我们发现，OLS和固定效应估计的劳动力系数大于扩展的ACF方法估计值的比例高达90%以上，资本系数的估计值大于扩展的ACF方法估计值的比例小于1%，这进一步支持了我们的发现。本文的结构安排如下，第一部分是引言；第二部分是模型，介绍生产函数估计的方法；第三部分介绍本文使用的数据；第四部分报告生产函数估计的结果，并与OLS方法和固定效应模型的估计结果进行比较；第五部分是结论和进一步研究的方向。3二、模型(一)OLS和固定效应假定采用柯布-道格拉斯的生产函数形式，对生产函数取自然对数后得到式(1)。这里我们并没有将截距项显性地写出，而是将它包括在中。(1)其中yit，kit，lit分别表示取对数后的企业增加值、资本和劳动力；ωit表示不可观测并且随时间变化的企业异质性生产率，代表了企业的管理水平、技术等因素；是误差项，表示生产率偏离预期水平的冲击以及被解释变量中的测量误差。ωit和我们都无法观测到，二者的区别在于ωit是状态变量，它会影响企业的投入决策。一方面企业主在观测到本期的生产率后决定劳动力和资本的投入数量，因此ωit和生产要素投入相关；另一方面，企业主在做决策之前无法观测到，因此与资本、劳动力等要素投入不相关。企业主预期到生产率提高时会加大劳动力的投入量，这会导致ωit与lit正相关，采用OLS对（1）式进行估计会导致劳动力的系数高估。固定效应模型假设企业个体的不可观测的生产率是固定不变的，ωit=ωi。但现实中企业的生产率是不断变化的，固定效应模型的均值变换或者差分变换都无法将ωit从（1）式中完全消掉，这使得在变换后ωit的一部分仍然保留在残差项中，并与要素投入相关，所以固定效应并不能完全解决生产函数估计中的内生性问题。Hock（1962）发现固定效应模型会严重地低估资本的系数。(二)OP模型生产函数的表达式与（1）式相同。OP假定生产率的变化服从一阶马尔科夫过程，即下一期的生产率只与当期的生产率有关，用公式表示为，(2)其中表示在第t期的信息集合。OP认为劳动力在当期可以自由调整，并且不会对下期的利润产生影响；与此相反资本是一种固定投入要素，当期的投资经过订购、安装、调试等环节到下一期才会形成资本，即(3)这里表示t-1期的投资。根据资本积累的方程可知，t期资本完全由t-1期的信息集合决定，因此它和当期的生产率ωit以及扰动项都不相关。所以，式（1）中只有是内生变量。在多期的不确定动态环境里，企业目标是最大化未来预期利润的贴现加总，投资作为决策变量是关于资本和生产率的函数。Pakes（1994）证明在投资值为正的条件下，投资是关于生产率的严格单调增函数，。假设仅存在生产率一个不可观测变量，在4给定的情况下求关于的函数，得到，即生产率是关于资本和投资的函数。将生产率的表达式代入到式(1)，有(4)由于的表达式中包含资本要素，所以我们无法从式(4)中将识别出来。定义，将式(4)改写成(5)式(5)是一个部分线性模型，可以采用核密度估计（Robinson,1998）或者序列估计（Andrews,1991；Newey,1995）方法进行估计，得到劳动力的系数估计值和的估计值。需要注意的是，由于我们已经用关于资本和投资的函数将生产率显性地表示出来，所以式(5)中不存在任何内生性问题。这是OP估计的第一阶段。在第二阶段我们的目标是估计出。根据的表达式，对于任意给定的可以计