计数原理+排列组合复习课-(高三一轮复习)

计数应用题中的典型问题和典型方法两个计数原理排列，排列数公式组合，组合数公式应用【例1】有两个袋子，其中一个袋子装有20个红色小球，每个球上标有1至20中的号码，另一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的号码，(1)从袋子中任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋中任取红白球各一个，有多少种不同的取法？点评：分清是“分类”还是“分步”是区别应用这两个原理的关键所在．分析：分类：方法可分类，类与类是并列关系，一类方法能完成一件事；分步：过程需分步，步与步是前后相继的关系，一步不能完成一件事情，几步共同才解：(1)分两类：①从红球中任取一个有20种不同的取法．②从白球中任取一个有15种不同的取法．由分类计数原理得20＋15＝35(种),即共35种不同取法．(2)分两步：①从红球中任取一个有20种不同的取法；②从白球中任取一个有15种不同的取法，由分步计数原理得20×15＝300(种),即共300种不同取法．能完成一件事。1、分类、分步两个原理的区别与联系分类计数原理分步计数原理定义做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，……，第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有种不同的方法，做第二步中有种不同的方法……，做第n步中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.相同点做一件事或完成一项工作的方法数不同点直接（分类）完成间接（分步骤）完成名称内容1m2mnm123nNmmmm1m2mnm123nNmmmm【巩固练习】已知集合M＝{－3,－2,－1,0,1,2},P(a,b)是平面上点，(1)P可表示多少个不同的点？(2)P可表示多少个坐标轴上的点？(2)分三类：第一类：P为x轴上(除原点)的点有5种，第二类：P为y轴上(除原点)的点有5种，第三类：P为原点有1种，由分类计数原理得5＋5＋1＝11(种)，∴P可表示11个坐标轴上的点．解：(1)分两步：第一步：先确定横坐标a有6种不同的选法；第二步：再确定纵坐标b有6种不同的选法，由分步计数原理得6×6＝36(种)，∴P可表示36个不同的点．【例2】用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？1234解：(1)由分步计数原理可知，共有=625种；45(2)只有2和4可同色。若2，4不同色有种，若2，4同色，有种，共有120+60=180种。分析：有5种有5种有5种有5种分析：543212054360123421534=420（种）33354445552ACACA解：按颜色分类，有三类不同的着色方法：（1）涂5色：有种；55A（2）涂4色：有种.4445AC由分类计数原理，不同的着色方法有：2（3）涂3色：有种.3335AC练习．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）.【例3】有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，有多少种不同的结果？分析：4名学生报名参加竞赛，不得兼报，是“人选科目”，每人都有3种不同的报名方法，可把4名学生报名视为4个步骤，用分步计数原理；4名学生争夺三项冠军，因每位冠军只能是一名学生获得，故应是“科目选人”，每个科目的冠军都有4种可能，将3个科目选冠军视为3个步骤，也应用分步计数原理．解：4名学生中，每人都要选报数学、物理、化学中的一科，根据分步计数原理，共有种报名方法．433333814名学生争夺数学、物理、化学三项冠军，每一项冠军都有4种不同的结果，共有种不同的结果。34444642、排列和组合的区别和联系名称排列组合定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有组合的个数符号计算公式关系性质区别先选后排只选不排mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn)!(!!mnmnCmn10nCmmmnnmACA11mmnnAnA11mnmnmnCCCmnnmnCC【算一算】(1)计算1111mmnmnmnmAAA(2)解方程3412140xxAA(3)11(2)nnnmmmAnAAn排列应用题的求解应着眼的三个方面：(1)问题的结果是否与顺序有关，能否归结为排列问题；(2)问题中的几个元素指的是什么，m个元素的一个排列对应着的事件是什么；(3)从n个元素中每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么．一、特殊优先原则在有限制的问题中，优先考虑特殊元素或特殊位置．三大原则：二、先取后排原则先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题。三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑排除法：先不管约束条件，求出总数，再剔除不合要求的部分．采用策略：（1）特殊位置/元素优先排列的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排的策略（一排考虑，分段研究）.排列:顺序；【例1】7人按下述要求排成一列，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须站在两端；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙必须相邻；(5)甲、乙之间相隔2人；(6)甲在乙的前面(可以不相邻)．acbdegf分析：由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用优先元素或位置优先排列解：(1)(特殊位置分析法)由于甲不站在两端，可先从除甲外的6人中任选2人站于两端共有种方法，再将所剩5人在所剩5个位置上进行全排列有种方法，故共有种不同的站法．26A55A25653600AA(间接法)7人全排列共有种，其中甲在两端者有种，故甲不在两端的所有站法，共有种．77A1626AA7167263600AAA(特殊元素分析法)由于甲不站在两端，故甲只能站在中间五个位置之一，有种，余下的6人进行全排列共有种，由分步计数原理得，共有种不同的站法．15A66A16563600AA(2)先排甲、乙于两端有种排法，再让余下的5人进行排有种，故甲、乙站在两端的所有排法有种排法．22A55A5252AA(3)(插空法)由于甲、乙不相邻，故先排除了甲、乙以外的5人，有种排法，再将甲、乙两人插入6个空档有种，由分步计数原理得:甲、乙不相邻的排法有种不同的排法．acbde分析26A55A52563600AA(间接法)7人全排列有种，其中甲、乙相邻者有种，从而甲、乙不相邻者有种不同的排法．77A2626AA7267263600AAA(4)(捆绑法)设想将甲、乙2人并作一人，与其余5人进行全排列，共有种排法，又此2人的位置可交换，即有种排法，于是共有种不同的排法．66A22A26261440AAacbdegf分析(5)先从另5人中选2人排于甲、乙之间，有种排法，又甲、乙2人的排法有种，最后将甲、乙及其中间2人共4人并作一个元素，与其余3人排列列有种排法，故共有种不同的排法．25A22A224524960AAA44A(6)(整体、对称法)注意到甲在乙前与甲在乙后的排法一样多，故共有种排法．77125202A点评：“先”与“后”，“并”与“插”都是辨证的，是可以互相转化的，在处理限位排列问题时，应灵活运用上述方法与策略．考点四定序问题消序(定序元素后排)策略【例3】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？47A【练】用1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字的十位数字小于个位数字的五位数共有多少个？2259AA【练】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）30考点六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.点拨:先不考虑定序的条件,排好后再除以要求定序的元素的全排列数.变式10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C【小试牛刀】(1)从a,b,c,d4名学生中选出2名完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a,b,c,d4名学生中选出2名完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？24A24C组合：无顺序问题：将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？(1)分成两组，一组3本，另一组1本；(2)平均分成两组；分组问题分组不定向分配问题(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；(4)分给甲、乙两人，甲3本，乙1本；(5)分给甲、乙两人，1人3本，另1人1本；1.把abcd分成平均两组abcdacbdadbc有_____多少种分法？C42C22A223cdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个★平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。分组问题2.把abcdef分成平均三组有_____多少种分法？分组问题abcdefabefcdcdabefcdefabefadcdefcdabacdeef这6个在分组时只能算一个★平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。……C62C42A33151.把abcd分成两组，一组3个，一组1个，abcdabdcacdb有_____多少种分法？C43C114bcda分组总共有4种分组问题:(不平均分组)有种方法；11C可先分3本的一组，再分1本的一组，这是连续进行的过程，因此应采用分步法．将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？(1)分析：解：第1步：从4本书中任取3本分给3本的一组，第2步：余下的1本书分给1本的一组，根据乘法原理，共有=4种不同分法．3141CC分组问题(1)分成两组，一组3本，另一组1本；分二步有种分法；34C不平均分组，无分配目标将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？有种方法；22C解：由于分步处理过程使分组产生了顺序，要用“除法”消序第二步，再分余下的2本书得到另一组，有种分法；24C故符合要求的分法有=3种不同分法．224222CCA(2)平均分成两组；第一步，先从4本书中分得2本得到一组，全部平均分配，无分配目标将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？有种分法；12C解：由于分步处理使后面二组产生了先后顺序，要用“除法”消序第二步，再从余下的2本书中分1本得到另一组，有种分法；24C故符合要求的分法有=3种不同分法．21142122CCCA(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；第一步，先从4本书中分2本得到一组，部分平均分配，无分配目标第三步，余下最后1本书得到最后一组，有种分法；11C问题：将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？(1)分成两组，一组3本，另一组1本；(2)平均分成两组；1.非均分无分配对象的问题一、分组不分配问题分组不定向分配问题2.均匀分组无分配对象的问题3.部分均分无分配对象的问题(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分