A车灯线光源最优的设计3数学建模

1一．问题重述汽车头部车灯的线光源的设计对车灯的照明光强有重要影响。一种可能的设计规范标准为，在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。假设车灯的反射面是旋转抛物面。车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。线光源对称地一定长度的均匀放置在经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向。旋转抛物面及其内部线光源的空间位置如图1.1图1.1旋转抛物面及其内部线光源的空间位置在满足该设计规范的条件下，线光源的功率存在一个极小值，此时线光源长度最短。二．基本假设1、线光源没有宽度，发光功率均匀分布。2、线光源上任意一点发出的光的波阵面为球形。3、光线在被反射时没有能量损失，也就是说，光线被全反射。4、光线在空气中传播时没有能量损失，也不会遇到障碍物。5、不考虑二次反射的情况。26、光线被测试屏完全吸收，即在测试屏处检测的光强就是照射到此处的光强。三．符号说明r旋转抛物面的开口半径h旋转抛物面的开口深度f焦距I光强度（单位面积的光功率）P光功率四．问题分析和解答4.1模型中基本的数学推导4.1.1旋转抛物面的焦距根据题意，36r（本文中所有长度单位为mm），6.21h。根据公式：156.21436422hrf焦点附近的线光源可看成许多点光源的线性叠加。一个基本的结论是若点光源在焦点位置，它发出的光经过抛物面的反射形成平行光。4.1.2测试屏反射点坐标公式给定线光源上一个点光源0P,它与焦点的距离为d,它发出的光线经旋转抛物面上的一点1P的反射,反射光线与测试屏的交点为2P,下面的工作是建立2P与0P和1P的关系。本文中，旋转抛物面的对称轴设为z轴正向，顶点在原点，水平面为zy面。则其方程为：060),,(22zyxzyxF（1）显然,0P坐标为)15,0,(d。设1P),,(000zyx，则1P坐标满足方程（1）0202060zyx（2）根据空间解析几何，曲面在1P点的法线l的法向量为3),,(000zzzFyyyFxxxFn=)60,2,2(00yx（3）则过1P点的法线方程为3000000zzyyyxxx（4）设0P关于法线l的对称点P的坐标为),,(111zyx，则0P和P连线的中点mP)215,2,2(111zyxd在法线上，得：302152201001001zzyyyxxxd（5）另外：)15,,(1110zydxPP显然nPP0，故0)15(30)(1101zyyxdx（6）联立（5）（6）两式，解得1530201001001azzayyydaxxx（7）其中4503000zdxa过1P和P两点的反射光线的方程为bzzzzyyyyxxxx010010010（8）它与测试屏的交点为2P),,(222zyx。在测试屏上，250152z，将（7）带入（8），得交点坐标)1()1(0202abyybdabxx（9）4其中azzb30152501500由（9）式可见，如果02y（即问题1中B点和C点的情况），则00y或1ab这说明对线光源上的任一点光源，对测试屏上过轴与屏的交点并与线光源平行的直线上的点的光强有贡献的抛物曲面上的反射点分两部分：一是线光源与轴线所确定的平面与曲面的交点，即00y；一是由空间点，满足1ab。4.2问题一4.2.1逆向模型1)点光源模型点光源可以看作一个没有大小的发光点。发出的光线均匀的向各个方向发散。2)点光源的能量模型a)经过以点光源为球心的任意一个球面的光的总能量相等；b)由a)和球面积公式可得，点光源照射到任意一点的光强度，与该点到点光源的距离平方成反比。c)本问题中，可以假设单位长度的线光源功率为P，则点光源的功率大小也为常数P；3)光强度函数光的强度在物理学中有具体的定义。但是在本问题中，并没有要求、也无法求出光强度的具体数值。又由于点光源的功率已假定为一常数P，于是某点的光强度仅与该点到点光源的距离d的平方成反比，因此，在本文中，可以定义光强度函数I为：(10)4)线光源模型线光源可以看作是无数点光源紧密排列在一起组成的。以下的讨论中，可以先讨论点光源对B、C点光强度的影响，然后对光强度5函数在线光源所在的直线上进行积分，就可以得到线光源在B、C点产生的光强度函数I(11)5)旋转抛物面模型旋转抛物面可以看作一条抛物线沿着它的对称轴旋转180度所得的曲面。其中任意一条抛物线都可以起到反射镜的作用。6)坐标系的建立与各物体的位置关系坐标系与旋转抛物面如图4.2.1所示。图4.2.2.1坐标系与旋转抛物面位置7)B、C点光强度的粗略模型显然，照射到B、C点的光线来自两部分，一部分是线光源的直接照射，另一部分经过旋转抛物面的反射后照到B、C点。于是，B、C点光强度应该是两部分分别在两点引起的光强度的叠加。8)直射光线在B点引起的光亮度大小很容易证明，线光源上每一个点光源都可以照射到B点。设线光源两端点分别为：和。某点光源坐标，到B点的距离d(x)，则线光源在B点引起的光亮度大小为：(12)同理可以得到该段线光源在C点的光亮度大小。9)反射光线在B的点引起的光亮度大小6a)一些基本关系式线光源上任取一点，旋转抛物面上任取一点，两点确定一条入射光线：方向向量B点坐标，与旋转抛物面上一点确定一条反射光线：方向向量：过抛物面上一点的法线方程：方向向量：由于入射光线、反射光线和法线满足如下两个条件：①三线共面；②法线平分入射光线与反射光线的夹角。由以上两点可以得到如下关系式：①②因为点和点分别为线光源和旋转抛物面上的点，所以还要满足如下约束条件：③④b)反射的讨论7由入射光线、反射光线和法线满足的两个条件可知，a、b向量归一化后的和向量与法线同向。于是得到如下关系式：其中：分别为向量a、b的模；与关系式③、④联立并讨论得：1.当时，立体问题转化为平面问题。即由点光源发出的光线只经过水平抛物线镜面反射到达B点。2.当，用x1，z1表示出y1代入，并舍掉数值较小的项，对得到的方程式讨论得到：对于与之间的点光源，总有两个解。也就是说，这两个点之间的点光源经过除水平抛物线镜面之外的抛物面反射（我们可以称之为立体反射）可以照射到B点，而且有两条光线可以到达B点。我们称起反射作用的点为反射点。同样的原理可以得到，对于C点，这样的临界点为：(-1.56,0,15)和。3.水平抛物线镜面反射光线的讨论由光的可逆性原理，当线光源上某一点光源发出的光经过水平抛物线镜面的反射，可以到达B点时，由B点出发射向旋转抛物面的光线经过反射也会到达该点光源。如图4.2.2所示建立平面坐标系：8图4.2.2.2则水平抛物线镜面的方程：旋转抛物面的开口直径为72毫米，而测试屏与旋转抛物面的焦点的距离为25米，在B点看旋转抛物面，张角θ0.072/25＝0.0029；所以，可以作如下近似：由B点出发射向旋转抛物面的光线可以看作一束平行光线。如图4.2.3所示为一束平行光束经平面反射后的光线：图4.2.2.3设入射光线的斜率为k，则k的近似取值为其中，P点为水平抛物线的焦点，(XB,YB)，(XP,YP)分别为B，P点的坐标。9入射光线经平面抛物线镜面反射后，将与线光源所在直线产生一系列交点，这些交点就是能够照射到B点的点光源。计算每个点光源在B点产生的光亮度大小，再对这一系列点光源进行积分，就得到了线光源经平面抛物线镜面反射后在B点产生的光亮度大小I2。4.立体反射光线的讨论我们已经得到，对于B、C点，经立体反射可以到达的临界点分别为：与、与。由于B或C距离到旋转抛物面上某点的距离与旋转抛物面的线度相比，旋转抛物面的线度很小，可以忽略。因此，我们用B点到焦点的距离来近似表示B点到抛物面上反射点的距离。设为dB，用d0表示某点光源到反射点的距离，于是可以近似得到这样的结论：于是，某点光源到B点光程为：由此，立体反射在B点引起的光亮度函数也就随之确定了。在前述区间和线光源长度区间的公共区间上积分，就可得到该段线光源经立体反射在B点产生的光亮度I3。10)B点的光亮度由直射，水平抛物线镜面反射和立体反射三部分叠加而成。即B点的光亮度：C点同理。11)搜索模型的确立由此,对于一个给定的灯丝长度，我们已经确定出了B点和C点的光的亮度.在此基础上,用计算机程序实现从一个较小的灯丝长度开始遍历,知道找到一个灯丝长度满足B点光的亮度是C点光的亮度的两倍.12)搜索结果利用程序搜索的结果为满足条件的最小灯丝长度为3.15毫米.4.2.2面积模型104.2.2.1模型分析通过测试屏坐标点公式的计算,我们可得到以下结论:(1)对于线光源上的某一点光源发出的光线经旋转抛物面上任意一个交线圆上的0x或0x部分的半圆反射,在测试屏上的曲线近似为一个圆。图4.2.3.1是取6.21z的交线圆的0x部分曲线作为反射点,取1d作为点光源得到的测试屏上的轨迹。图4.2.3.1（2）线光源上的某点光源在抛物曲面上反射后在测试屏上形成的点集，6.21z的交线圆的0x部分曲线作为反射点得到的测试屏上的轨迹圆（其半径最大）及其内部的平均光强是其余部分的一半（如图4.2.3.2）图4.2.3.2设图示的圆内面积为S1，其光强为1I，其余面积为S2，光强为12I，点光11源的反射光功率为P，则下式成立：PSISI21112（3）线光源上的两个不同的点光源（除焦点外）在测试屏上形成的光斑图形相似，其面积比等于最大轨迹圆半径的比的平方。（4）根据测试屏坐标点公式，可计算出只有当线光源长度大于3.12时才有反射光线经过C点；大于1.56时才有反射光线经过B点。综合上述结论，当线光源长度为某一个值2d时，取线光源在x点附近的微小长度dx。反射光在C点的光强CI和B点的光强BI如下cIdxSSkqd56.12122bIdxSSkqd78.02122其中，q表示单位长度线光源的功率，k为反射部分所占的比例，在d很小时近似为常数，即568.03601591k由结论（3）得)(2)(221xcrSSxS其中c为系数常数，)(xr为给定位置为x的点光源产生的最大轨迹圆的半径。由此C点和B点的光强分别表示为：cIdxxrcd56.12')(1bIdxxrcd78.02')(1其中ckqc2'.下面确定函数)(xr。)(xr的解析解不可能用初等函数表示，故用数值积分的方法。如图4.2.3.3，距焦点为x的点光源经过6.21z的交线圆上的点A映射到测12试面上的点'A,点B映射到测试面上的点'B，点D映射到测试面上的点'D（根据对称性，'B和'D重合）图4.2.3.3通过计算'B和'D两点的坐标，可确定轨迹圆半径)(xr。由数值计算可知，当56.1d时，恒有cbII2，所以问题一的解为1.56*2=3.12。4.3问题二4.3.1遍历搜索法根据4.1的推导，只要给定P以及抛物面上的任意一点就可以确定在测试面上相应的反射点，遍历抛物面上的所有点，求出测试面上的点，即可画出这一点的反射轮廓图，如下图所示：（a=1.65）图4.3.1.113在问题一得到的线光源的每点处，都画出反射轮廓图，迭加在一起边得到总的轮廓图如图4.3.2图4.3.1.2对所得亮区轮廓图的几点分析：1)如下图为在光源点(1.56,0,15)处的反射测试图，其中“＊”所标为光源点通过椭球面的边沿反射后的点轨迹，可以发现，“＊”所围部分每一处都有两个重复的反射点，而“＊”外面则有四个重复的反射点，可见，外部光强是内部光强的两倍，同时可以看出“＊”轨迹是一个圆。2)参看图4.3.3可以发现，整个轮廓完全由x坐标最大的光源点决定，即光源点偏