数学：1.2《等差数列》课件(北师大版必修5)

1.2等差数列请看下面一些数列:鞋的尺码，按照国家统一规定，有22，22.5，23，23.5，24，24.5，……某月星期日的日期为2，9，16，23，30；一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为：89，83，77，71，65，59，53，47(cm)一、课题引入思考：它们有何共同特征？从第2项起，每一项与前一项的差都等于一个常数.二、等差数列的定义如果一个数列{an}，从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列定义的公式表示：an-an-1=d例1．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5，这个数列是等差数列吗？解：因为当n≥2时，an－an－1=3n－5－[3(n－1)－5]=3，所以数列{an}是等差数列，且公差为3.（1）判断一个数列是否等差数列，应严格按照等差数列的定义来进行。等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差,不能颠倒。跟踪练习：判断下列数列是否等差数列？,16,11,7,4,2,1:4,3,3,3,3,3,3:3,7,5,3,1,2-,3-:2,12,,108,6,4,2,1:1（2）作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是０和负数。如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d,求它的通项公式an∴a2＝a1＋da3＝a2＋d＝a1＋2da4＝a3＋d＝a1＋3da5＝a4＋d＝a1＋4d……由此得:an＝a1＋(n－1)d（n∈N+)解：由等差数列得定义得：an＋1＝an＋d三、等差数列的通项公式思考:还可以有别的方式得到这个公式吗？21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得1(1)naand…等差数列的通项公式推导2（叠加）dnaan)1(1例2．已知等差数列10，7，4，……；（1）试求此数列的第10项；（2）－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？解：（1）设此数列为{an}，由a1=10，a2=7，得d=7－10=－3，得到这个数列的通项公式为an=10－3(n－1)，即an=－3n+13，当n=10时，a10=－17.（2）如果－40是这个数列的项，则方程－40=－3n+13应有正整数解，533n解这个方程得，所以－40不是这个数列的项；如果－56是这个数列的项，则方程－56=－3n+13有正整数解，解这个方程得n=23，所以－56是这个数列的第23项；（1）、已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。（2）、求等差数列10，8，6，4，‥‥的第20项。（3）、-401是不是等差数列–5，-9，-13，‥‥的项？如果是，是第几项？跟踪练习：例3：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求首项a1，公差d及通项an。分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。解：由题意可得a1+5d=12(1)﹛a1+17d=36(2)∴d=2a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n（1）此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。***********（2）等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n，d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。跟踪练习在等差数列{an}中，已知（1）a4=10,a7=19，求a1与d。（2）a3=9,a9=3，求a12。1.在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d=nd+(a1－d)可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.当公差d≠0时，an是关于n的一次式.四：性质一：公差的几何意义思考：若设数列{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，这个数列是等差数列吗？因为an－an－1=(an+b)－[a(n－1)+b]=a.(n≥2)所以{an}是等差数列，其中a是公差.结论：如果{an}是等差数列，则an=an+b，(a，b是常数)；反之，若{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，则数列{an}是等差数列，2.由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b，因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直线上。当a≠0时，各点均在一次函数y=ax+b的图象上；当a=0时，各点均在函数y=b的图象上。思考：在哪条直线上？讨论：这个数列的公差与这条直线有什么关系？有什么意义？这个数列的公差等于这条直线的斜率，这就是公差的几何意义。例1．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.解：由等差数列的通项公式可知an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d，两式相减得，an=am+(n－m)d.思考：还可以如何推导？解：由几何意义可知点（n,an），（m,am）在直线y=dx+b上，所以d=(an-am)/(n-m)，整理得an=am+(n－m)d.１.等差中项的定义如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项。如果A是x和y的等差中项，则2xyA注：（１）在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。（２）若m+n=2p,则am+an=2ap性质二例2．梯子共有5级，从上往下数第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{an}，求第2，3，4级的宽度。解法1：由题意，a1=35，a5=43，由等差数列通项公式，51251aad因此得a2=37，a3=39，a4=41.得公差解法2：此数列共5项，a3是a1与a5的等差中项，因此153392aaa又因为a2是a1与a3的等差中项，a4是a3与a5的等差中项，所以132372aaa354412aaa答：梯子的第2，3，4级的宽度分别是37cm，39cm，41cm.例3.（1）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，求证：am＋an＝ap＋aq.（2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，求a2＋a8.解：（2）∵a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5，∴5a5=450，a5=90,∴a2+a8=2×90=180.性质三跟踪练习在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20；(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.注：等差数列还有许多重要性质，在学习中需要我们慢慢去挖掘。1、等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是同一常数。象例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、从第3项起是等差数列，而它们本身不是。2、等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d知道其中三个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。四、小结本节课主要学习了以下知识：在学习中还要注意提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力。②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=小结（知识巩固）1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===