热力学部分习题课

热力学部分习题课主讲人：余辛炜2016.04.10.1.2引力势能（长程相互作用）是不是广延量？考虑半径为r，密度均匀为的球，说明该系统的引力势能正比于，V是体积，并求n。解：半径为𝒙的球，把最外一层厚为𝒅𝒙的薄球壳均匀扩大直到半径为+∞，需要做的功是：nV532225433041615rGxxdxGrVx1.3对于理想气体，求麦克斯韦速度分布中的两个常数C和a。提示：用到归一化条件以及平均动能与温度的关系。意义：粒子在速度空间中处于（）~（）的概率222(,,)()()(v)Cexp[a(v)]xyzxyzxyzfvvvfvfvfvv,v,xyzvv,v,xxyyzzvdvdvvdvA1.10声波在气体中的传播速度为假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及𝛾给出：()sp22,(1)1uConsthConst解：理想气体0011RTMuuRTMhh22SS()()pVpMVpVRTMM(,S))(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()SpTvppVVSpSpTVTpTVTVSCppCVV（求Otto循环效率（2绝热+2等容）1322413212141112()()11()vvQCTTQCTTTTQQQTTVV1211213142()()TVTVTVTV由绝热过程：A1.22有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为𝑇𝑖。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到𝑇2为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为2min22(2)ipiTWCTTT解：122112231222122mi221n(2)Slnln0(ln0(2)pipipipiiipiWQQCTTTCTTSCTSTTSCTTTTTWCTTTT制冷机进行可逆循环）3.20一圆筒中有一导热活塞把它分为两部分，一部分装有𝑁1𝑚𝑜𝑙气体，另一部分装有𝑁2𝑚𝑜𝑙气体，两部分最初的压强和体积各为𝑝1、𝑉1和𝑝2、𝑉2，令活塞自由运动，使两边气体达到平衡态，假设圆筒与外界是绝热的，并设气体为理想气体，它的两种比热容之比𝛾是常数，求最后的共同温度和压强，并计算出熵的增加值。解:系统不对外做功且绝热，因此内能不变。11221122112212121211221212()()0()()vfvfffNCTTNCTTNTNTpVpVTNNNNRNNRTpVpVpVVVV计算熵增，以一边为例：初始状态（），平衡态（）。构造等温过程+等压过程计算熵增：等温过程：（）（）等压过程（）（）1111,,,NpVT11,,,fffNpVT1111,,,NpVT'111,,,fNpVT'1111112()ln()fpVfVpNRTppdVpSdpNRTTpp11,,,fffNpVT'111,,,fNpVT121lnfTpfpTCdTTSCTT另一边同理，因此也可以构造等温过程+等容过程or等压过程+等容过程，结果是等价的。112212121122112211122211221211122212()()[lnln]()()[lnln]()()ppVVpVVSRNNpVpVpVpVNpVpVNpVpVCNNpVNNpVNNA2.1已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度。试证明在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加。()()0TVSpVT试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率在由状态等温（温度为）膨胀至状态的过程中，平衡辐射吸收的热量为在由状态等温（温度为）压缩为状态的过程中，平衡辐射放出的热量为循环过程的效率为1121.QTSS2221.QTSS2212211211111.TSSQTQTSST3.7试证明在相变中物质摩尔内能的变化为如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简.1.mpdTULTdp.(1.mmmmmmmUHpVHLdpLdTTVLdTVTdppdTULTdp克拉伯龙方程）21mdpLpdTRTRTULL简化：考点小结1.简单的热力学关系(A1.1,A1.2,A1.4,A1.7)2.熵，热机循环(2.4,A1.22,A1.23,B3.20)3.比热的概念(A2.8,A2.18)4.麦克斯韦关系(A2.1,A2.3)5.热力学函数(A1.10,A2.12,A2.20,A2.21)6.相变(A3.7,A3.12)热力学复习热力学的基本规律•热力学第零定律热平衡温度（温标）力学平衡压强，相平衡化学势•物态方程（独立，实验确定）体胀系数，压强系数，等温压缩系数理想气体，范氏气体简单固体液体，顺磁性固体10:45191，温标相关问题例1，某气体的定压温标和定容温标测得的温度相等，证明该气体的状态方程为。其中为该气体的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度，都是常数。（定压温标中温度和体积呈线性关系，定容温标中温度和压强呈线性关系）解：先看定压温标，取参考点为水的冰点和沸点，显然任一体积和对应的温度有关系：paVbc,,,abc,iiV,ssVVppisiisiVVVVsisipiisisiVVApVBpVVVV对于定容温标同样有由题设，两种温标的温度相等，即，有所以以为自变量有由的全微分条件得VDVpEVpVpppVVVApVVDVpp,pVdddApVDVpddd=ddApDVpV对上式积分（是常数），得带入温度的表达式完成积分得AppaDVVbddddpaVVbppaVbpaVbc2，物态方程相关问题常见题型：（1）已知𝑓𝑉,𝑇,𝑝=0，求𝛼，𝛽，𝜅方法：直接求偏导数（2）已知𝛼，𝛽，𝜅，求𝑓𝑉,𝑇,𝑝方法1：常数变易法（固定一个变量，积分，然后利用另一偏导数，来确定积分常数。）方法2：凑全微分法例2（课件中的例题）已知𝛼=1𝑇1+3𝑎𝑉𝑇2，𝜅=1𝑝1+𝑎𝑉𝑇2，其中𝑎是常数，求物态方程。解：选𝑇，𝑉做自变量，物态方程为𝑝=𝑝𝑇,𝑉，且带入𝛼，𝜅的表达式，得直接积分得（容易积分，相当于“凑全微分”）•热力学第一定律（任意过程，注意符号）功，表面系统，电磁介质两种热容量，准静态过程某一点的热容量各种循环的效率（包括制冷）注意，热力学第一定律，物态方程，内能与各参量的关系，这三者是独立的，解题是往往都需要用到。（有些情况，如辐射系统，需要注意）10:4525UQWiiiWYyVVUCTpppUVCpTT•热力学第二定律几种表述，等价性克劳修斯不等式熵，熵增加原理不可逆过程熵增加自发过程熵增加平衡态熵最大热力学基本方程简单系统，描述相邻平衡态的关系与过程有关，一定有10:452612120QQTT0dQTdUTdSpdVdUTdSdWpdVdW•典型题目理想气体绝热方程理想气体多方过程，求各种量（例如熵变）其他熵变问题两点的熵差，可设计各种过程求得；若是理想气体，记住熵的表达式更方便最大功问题p-V图，S-T图，T-V图……10:45271，𝐶𝑉，𝐶𝑝的计算例3，（周、曹书习题2.15）1mol服从范德瓦尔斯方程𝑝+𝑎𝑉2𝑉−𝑏=𝑅𝑇的气体，如果它的内能由式𝑢=𝑐𝑇−𝑎𝑉（𝑉是摩尔体积，𝑐是常数）给出，计算摩尔比热容𝑐𝑉，𝑐𝑝。解：由物态方程得2，过程吸热、做功例4，一绝热活塞将两端封闭的绝热气缸分成A、B两部分，A和B装有等量的单原子理想气体𝐶𝑣=32𝑅，活塞可在气缸内无摩擦地自由滑动。开始时A、B两边气体的体积均为𝑉0，压强均为𝑝0，温度均为𝑇0。现通过某种装置对A中气体缓慢加热，使活塞向右移动。当B中气体的压强为3𝑝0，且A、B气体均达到平衡时，停止加热。设活塞移动的过程可视为准静态过程，试计算加热过程中传给A中气体的热量Q。解：整个气缸作为整体B中气体经历绝热过程，得B末态体积和温度所以A末态体积为由理想气体物态方程得A末态温度由理想气体内能与温度的关系得最后得到A的吸热量3，计算熵变常见题型：（1）准静态过程的熵变方法：利用熵的定义直接积分计算Δ𝑆=12𝑄𝑇（2）给定初末态计算熵变（如理想气体自由膨胀）方法1：设计准静态过程，再利用上面的方法方法2：直接利用理想气体熵变公式，例如以T,p为自变量Δ𝑆1→2=𝑛𝐶𝑝,𝑚𝑙𝑛𝑇2𝑇1−𝑛𝑅𝑙𝑛𝑝2𝑝1（3）初态是非平衡态的熵变方法：利用局部平衡假设，微元的初末态都是平衡态例5（作业）一个绝热的圆柱形容器被一个导热率很差的活塞分为两部分，开始两边装有等量气体，温度分别为𝑇0和3𝑇0，活塞可以自由无摩擦地滑动，最后达到平衡态。设气体热容量为常数，求系统的总熵变。解：系统绝热，可以立即得出初末态分别为：𝑇0,𝑉0+3𝑇0,3𝑉0→2𝑇0,2𝑉0+2𝑇0,2𝑉0理想气体熵变（以T、V为变量）：∆𝑆1→2=𝑛𝐶𝑉,𝑚𝑙𝑛𝑇2𝑇1+𝑛𝑅𝑙𝑛𝑉2𝑉1得到：∆𝑆=𝑛𝐶𝑉,𝑚𝑙𝑛2𝑇0𝑇0+𝑛𝑅𝑙𝑛2𝑉0𝑉0+𝑛𝐶𝑉,𝑚𝑙𝑛2𝑇03𝑇0+𝑛𝑅𝑙𝑛2𝑉03𝑉0=𝑛𝐶𝑉,𝑚+𝑅𝑙𝑛43=𝑛𝐶𝑝,𝑚𝑙𝑛43例6（作业）均匀杆的温度一端为𝑇1，另一端为𝑇2，试计算达到均匀温度12𝑇1+𝑇2后的熵增。解：如图，取微元dx，初末温度为设计准静态等压过程，求微元熵变对棒积分得总熵变4，最大功问题例7，（周、曹书习题3.25）例8，（周、曹书习题3.26）5，卡诺循环，循环效率、制冷机问题常见题型（1）求给定循环的效率方法：用热力学第一定律相关知识，分段求吸热和做功（2）制冷机相关问题例9，（作业）Otto循环•热力学第三定律绝对零温的熵是一个常量绝对零度不可到达应用：在温度趋于零时热容量趋于零零温的熵不一定等于零（基态简并）居里定律与热力学第三定律不矛盾10:45361tanhBkTBBMkTkT1tanhBkTBMCkT000()HTmSTTH均匀物质的热力学性质（单元单相）•热力学函数的全微分（自变量）一阶导数，二阶导数（麦克斯韦关系）记忆：内能（勒让德变换）其他函数(偏导数顺序可交换)麦克斯韦关系为什么引入各种热力学函数？10:4537dFSdTpdVdUTdSpdVdHTdSVdpdGSdTVdp•几个有用公式换自变量10:4538S,,UVUTVVVVUSCTTTTVUpTpVTpTHVVTpTpppHSCTTTS,,HpHTp•其他系统（推广，