数值分析作业答案(第4章)-part2

4.6.若用复化梯形公式计算积分10xIedx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超过51102？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为2()(),(,)12nbaRfhfab又10xIedx故(),(),0,1.xxfxefxeab221()()1212neRfhfh若51()102nRf，则25610he当对区间[0,1]进行等分时，1,hn故有510212.856en因此，将区间213等分时可以满足误差要求。采用复化辛普森公式时，余项为4(4)()()(),(,)1802nbahRffab又(),xfxe(4)4(4)4(),1()|()|28802880xnfxeeRfhfh若51()102nRf，则45144010he当对区间[0,1]进行等分时1nh故有1541440(10)3.71ne因此，将区间8等分时可以满足误差要求。4.10.试构造高斯型求积公式)()()(1110010xfAxfAdxxfx。解令公式对32,,,1)(xxxxf准确成立，得,72,52,32,2131030121020110010AxAxAxAxAxAxAA)4()3()2()1(由于1011001100)()(AxxAAxAxAx，利用方程(1)，方程(2)可化为32)(21010Axxx(5)同样，用方程(2)化方程(3)，方程(3)化方程(4)，分别得52)(3211010Axxxx(6)72)(52121010Axxxx(7)用方程(5)消去方程(6)中的101)(Axx，即将101)(Axx用0232x代替，得52)32(32100xxx(8)用方程(6)消去方程(7)中的1101)(Axxx，即将1101)(Axxx用03252x代替，得72)3252(52100xxx(9)整理方程(8)和方程(9)，解得.353,761010xxxx从而（注意10xx）5623710x，5623711x，代回方程(1)和方程(2)可得653110A，.653111A得求积公式为5672736531156727365311)(110ffdxxfx4.17.确定数值微分公式的截断误差表达式)]2()(3)(4[21)(0000'hxfxfhxfhxf解数值微分公式)]2()(3)(4[21)(0000'hxfxfhxfhxf是由对过节点))(,(00xfx，))(,(00hxfhx，))2(,2(00hxfhx的二次插值多项式)(2xP求导而得到的。由于),(),(!3)()())()((!3)()()(203'''2210'''2xxxfxPxxxxxxfxPxf，其中2,1,0,0iihxxi，)())(())(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxP对x求导得),(!3)(!3)()()(''''3'3''''2'fdxdxfxPxf取0xx，得.3)()]2()(3)(4[21)(!3)()()(2'''0000'3'''0'20'hfhxfxfhxfhxfxPxf从而得截断误差为]).2,[)((300'''2hxxfh