显式&隐式求解

显式动力学&隐式动力学分析1、显式算法基于动力学方程，因此无需迭代；而静态隐式算法基于虚功原理，一般需要迭代计算2、显式算法最大优点是有较好的稳定性。动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式，不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。因此需要的内存也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥,因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。静态显式法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差，必须每步使用很小的增量。3、隐式算法隐式算法中，在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组，这个过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算法中的增量步可以比较大，至少可以比显式算法大得多，但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制，需要取一个合理值。4、求解时间使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比；应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比；因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本隐式算法将冲压成型过程的计算作为动态问题来处理后，就涉及到时间域的数值积分方法问题。在80年代中期以前，人们基本上使用纽曼法进行时间域的积分。根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下的关系：(1)()()(12)()2(1)(1)()(12)()2(1)uiuitvipaipaivivitqaiqai上面式子中，u(i+1)和u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和v(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数。由上式可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度和加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解。这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。这就是通常所说的隐式算法。隐式算法可能遇到两个问题：一是迭代过程不一定收敛；二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。隐式算法的最大优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。隐式算法不考虑惯性效应[C]和[M]。对于线性问题，无条件稳定，可以用大的时间步。对于非线性问题，通过一系列线性逼近（Newton-Raphson）来求解；要求转置非线性刚度矩阵[K]，收敛时候需要小的时间步，对于高度非线性问题无法保证收敛。因此，隐式求解一般用于线性分析和非线性结构静动力分析，包括结构固有频率和振型计算。ansys使用的Newmark时间积分法即为隐式算法。显式算法如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系：2(1)2()(1)()()(1)(1)(1)2uiuiuiaitviuiuit由上式可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。另外，只要将运动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式算法。显式算法的优点是它即没有收敛性问题，也不需求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。显式算法是ansys/ls-dyna中主要的求解方法，用于分析大变形、瞬态问题、非线性动力学问题等。对于非线性分析，显示算法有一些基本的特点，如：块质量矩阵需要简单的转置；方程非耦合，可以直接求解；无须转置刚度矩阵，所有的非线性问题（包括接触）都包含在内力矢量中；内力计算是主要的计算部分；无效收敛检查；保存稳定状态需要小的时间步。显式算法和隐式算法，有时也称为显式解法和隐式解法，是计算力学中常见的两个概念，但是它们并没有普遍认可的定义，下面收集的一些理解。先看看一般对两种方法的理解和比较=============================================================显式算法隐式算法-----------------------------------------------------------------------------------(01)适用问题动力学（动态）静力学（静态）(02)阻尼人工阻尼数值阻尼-----------------------------------------------------------------------------------(03)每步求解方法矩阵乘法线性方程组(04)大矩阵（总刚）否是(05)数据存贮量小大(06)每步计算速度快慢(07)迭代收敛性无有(08)确定解有确定解可能是病态无确定解-----------------------------------------------------------------------------------(09)时步稳定性有条件无条件(10)时间步小大(11)计算精度低高=============================================================(01)是明显不对的，只是对两种方法的初级理解，(02)也是同样。下面要详细讨论这两点。(03)是每一步求解的方法，(04)(05)(06)(07)(08)是由(03)所决定的，它们不是两种方法的基本特点。同样，(09)是时间步选择的方法，(10)(11)是由(09)所决定的。通过(03)(09)可以得到两种方法的计算特点，显式算法是每一步求解为矩阵乘法，时间步选择为条件稳定；隐式算法是每一步求解为线性方程组求解，时间步选择为无条件稳定。下面主要分析两种方法的应用范围。在求解动力学问题时，将方程在空间上采用有限元法（或其他方法）进行离散后，变为常微分方程组MuCuKuf求解这种方程的其中两种方法为，中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法，采用Newmark法解决动力学问题被称为隐式算法。在求解动力学问题时，离散元法（也有其他方法）主要有两种思想：动态松弛法（向后时步迭代），静态松弛法（每一步要平衡）。动态松弛法是显式算法，静态松弛法是隐式算法。其中冲压成型就是动态松弛法的主要例子。在求解静力学问题时，有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法，这是显式算法。其中冲压成形就是主要例子。最后总结，=============================================================显式算法隐式算法-------------------------------------------------------------------------------(01)每步求解方法矩阵乘法线性方程组(02)时步稳定性有条件无条件-------------------------------------------------------------------------------(03)适用问题动力中心差分法动力Newmark法动力动态松弛法动力静态松弛法静力动态松弛法=============================================================弄清楚了隐式和显示算法后，简单说一下单点积分和全积分。Ansys作为一种有限单元法，它是一种离散化的数值解法。有限单元法中，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示，每一结构构件的力与位移之间的关系不是精确推导出来的，而是利用每一单元中近似的位移函数得到节点位移，然后计算积分点应变和应力，输出时才根据用户请求将积分点结果复制或线性外推至单元的节点上。因此，有限单元法是一种近似的数值方法。先看一下积分点的概念：计算刚度矩阵需要进行数值积分，Ansys采用高斯积分法，即采用各积分点处函数值与积分系数乘积之和，因此积分点也称高斯积分点。积分点位置的确定比较复杂，它是勒让德多项式Ln(x)的n个不同的实根，即需要求解勒让德多项式。对于面、体单元，在积分点处计算单元结果也比较精确。由此可知，积分点与节点完全不同，不同单元积分点位置也不一样，个别梁单元也没有积分点。Gauss积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需阶数的积分称为缩减积分,简单地说就是数值积分采用比精确积分要求少的积分点数。实际计算表明，采用缩减积分往往可以取得较完全精确积分更好的精度。因此，所谓单点积分和全积分实际上指的是高斯积分时所采用的积分点的个数。这样说来，单点积分和全积分与显示算法和隐式算法没有本质的联系。只不过，在显示动力分析中最消耗CPU的一项就是单元的处理。由于积分点的个数与CPU时间成正比，采用简化积分的单元便可以极大的节省数据存储量和运算次数，进而提高运算效率。除节省CPU外，单点积分单元在大变形分析中同样有效，Ansys/ls-dyna单元能承受比标准Ansys隐式单元更大的变形。因此，每种显示动力单元确省为单点积分。但单点积分有两个缺点：1.出现零能模型（沙漏模态）；2.应力结果精确度与积分点相关。为了控制沙漏，可以采用全积分单元。总结一下，显示算法、隐式算法与单点积分、全积分不是一个层次上的概念。我们在求解问题的时候应先根据我们的问题类型来决定是采用显示算法还是隐式算法。如果是采用显示算法，默认是单点积分，如果产生了沙漏，改用全积分。附加说明：1)求解线性静力学问题，虽然求解线性方程组，但是没有时步的关系，所以不应将其看作隐式算法。2)求解非线性静力学问题，虽然求解过程需要迭代，或者是增量法，但是没有明显的时步问题，所以不应将其看作隐式算法。3)静态松弛法，可以认为是将动力学问题看作静力学问题来解决，每一步达到静力平衡，需要数值阻尼。4)动态松弛法，可以认为是将静力学问题或者动力学问题，分为时步动力学问题，采用向后时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时，需要人工阻尼。按照计算每一时刻动力反应是否需要求解线性方程组，可将直接积分法分为隐式积分方法和显式积分方法两类。隐式积分法是根据当前时刻及前几时刻体系的动力反应值建立以下一时刻动力反应值为未知量的线性方程组，通过求解方程组确定下一时刻动力反应。隐式方法的研究和应用由来已久，常用的方法有线性加速度法、常平均加速度法、Newmark方法、Wilson-θ法、Houbolt方法等。显式积分法可由当前时刻及前几时刻的体系动力反应值直接外推下一时刻的动力反应值，不需要求解线性方程组，实现了时间离散的解耦。解方程组一般占整个有限元求解程序耗时的70％左右，因此，这一解耦技术对计算量的节省是可观的。隐式方法大部分是无条件稳定的，显式方法为条件稳定。显式方法的稳定性可以按满足精度要求的空间步距确定满足数值积分稳定性要求的时问步距来实现。显式方法受条件稳定的限制，时间积分步长将取得较小，但计算经验表明，对于一些自由度数巨大且介质呈非线性的问题，显式法比隐式法所需的计算量要小得多。因此，随着所考虑问题复杂性的增加，显式积分法同益得到重视。弹性动力学有限元基本解法结构系统的通用运动学方程为：tRKUUCUM(1)求解该动力学振动响应主要有三类方法：（1）时域法（2）频域法（3）响应谱法时域法又可分为：（1）直接积分法，（2）模态叠加法。直接积分法又可分为：a.中心差分法（显式），b.Wilson（隐式）法以及c.Newmark（隐式）法等。本文介绍中心差分法（显式）与Newmark（隐式）法。1中心差分法（显式）假定0，1t，2t，…，nt时刻的节点位移，速度与